Analyse complexe et distributions

404 Pages·2001·20.19 MB·French

by  Yger

Mathématiques pour le 2® cycle
Collection dirigée par Charles-Michel Marle et Philippe Pilibossian
A
nalyse complexe
D
et istributions
Alain YGER
Professeur à l'Université de Bordeaux I
Du même auteur chez le même éditeur
► Théorie et analyse du signal Cours et initiation pratique via MATLAB et SCILAB,
coll. « Universités mathématiques », 272 pages.
Dans la même collection Mathématiques pour le 2e cycle
► Algèbre linéaire, Francette Bories-Longuet, 160 pages.
► Analyse complexe et distributions, Alain Yger, 400 pages.
► Calcul différentiel, Gilles Christol, Anne Cot, Charles-Michel Marie, 224 pages.
► Cours de calcul formel - Algorithmes fondamentaux, Philippe Saux Picart, 192 pages.
► Distributions - Espaces de Sobolev, Applications, Marie-Thérèse Lacroix-Sonrier,
160 pages.
► Éléments d'analyse convexe et variationnelle, Dominique Azé, 240 pages.
► Éléments d’intégration et d’analyse fonctionnelle, Aziz El Kacimi Alaoui, 256 pages.
► Géométrie différentielle avec 80 figures, Catherine Doss-Bachelet, Jean-Pierre
Françoise et Claude Piquet, 208 pages.
► Les groupes finis et leurs représentations, Gérard Rauch, 192 pages.
► Intégration et théorie de la mesure - Une approche géométrique, Paul Krée,
240 pages.
► Logique, ensemble, catégories. Le point de vue constructif, Pierre Ageron, 128 pages.
► Quelques aspects des mathématiques actuelles, ouvrage collectif, 256 pages.
► Théorie de Galois, Ivan Gozard, 224 pages.
► Topologie, Gilles Christol, Anne Cot, Charles-Michel Marie, 192 pages.
ISBN 2-7298-0411-0
© Ellipses Édition Marketing S.A., 2001
32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15
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sanctionnée par les articles L. 33S-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle.
Présentation de la Collection
Mathématiques pour le deuxième cycle
Cette collection se propose de mettre à la disposition des étudiants de licence et
de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant Vessentiel des programmes
actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles
aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l’agrégation, ainsi qu’aux élèves
des grandes écoles.
Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont
présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement
la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des
démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels, et de nombreux exercices
corrigés.
Le livre d’Alain Yger présente, en un seul volume, à la fois la théorie des fonc­
tions de variables complexes et celle des distributions. Le lecteur découvrira
avec émerveillement comment ces deux branches de l’Analyse interagissent et
s’enrichissent mutuellement. Ainsi par exemple, la théorie des distributions ap­
paraît comme un outil puissant pour l’étude des opérateurs hypoelliptiques, et
cette étude éclaire d’un jour nouveau les concepts d’holomorphie et d’analyticité ;
la transformation de Fourier établit une correspondance remarquable entre distri­
butions à support compact et fonctions entières.
Par son style vivant et convivial, et par les explications détaillées dont il est
prodigue, l’auteur a su rendre aussi aisé que possible l’accès à nombre de théorèmes
profonds. De plus, son ouvrage, particulièrement riche, est remarquablement bien
conçu pour une étude active : les nombreux exercices de compréhension et les
thèmes de problèmes sont autant d’invitations à aller plus loin, dans diverses
directions intéressantes tant pour les mathématiques elles-mêmes que pour leurs
applications.
Charles-Michel Marie Philippe Pilibossian

Avant-propos
Présenter la rigidité du cadre holomorphe en même temps que la souplesse des outils
que propose le cadre C°° (partitionnement de l’unité, théorie des distributions,...), ainsi
que la manière dont ces deux cadres a priori antinomiques s’enchevêtrent de fait face à
leur champ d’application, tel était l’objectif qui nous a guidé dans la rédaction du pro­
gramme du module “Analyse Complexe et Distributions”, partie intégrante de la maîtrise
de Mathématiques Pures de Bordeaux depuis la nouvelle habilitation.
Le contenu de l’ouvrage correspond à un enseignement de 50 heures auprès des étudiants,
divisé en trois parties à peu près égales (respectivement 8, 8, 9 séances de deux heures) :
- les chapitres 1 et 2, avec la présentation du cadre analytique de l’analyse complexe ;
- le chapitre 3, constituant une digression vers les objets “souples” de l’analyse, en l’oc­
currence la théorie des distributions et des courants, beaucoup d’exemples étant bien sûr
puisés dans ce qui constituait le premier volet du cours (hypoellipticité du d, du lapla­
cien,...) ;
- enfin, le chapitre 4, d’obédience plus géométrique, constituant un introduction aux as­
pects plus topologiques de l’analyse complexe, ainsi qu’une initiation à la géométrie ana­
lytique complexe et à son rôle croissant en géométrie algébrique ou en théorie algébrique
ou analytique des nombres.
C’est volontairement que nous avons “encadré” le volet “distributions” entre les deux
volets “analyse complexe”, afin de mettre en évidence le rôle capital des êtres “souples”
(distributions, courants) dans la théorie des fonctions holomorphes d’une variable; ce
choix correspond aussi à l’idée de proposer, sans qu’elle soit explicitement mentionnée,
une invitation à la découverte de l’analyse complexe multi-variables.
Il existe nombre d’excellents traités d’analyse complexe; celui ci, loin d’être exhaustif,
ne prétend présenter que ce qui correspond matériellement au contenu d’un cours de 50
heures ; l’excellent ouvrage de mes amis et collaborateurs C. Berenstein et R. Gay (Com-
plex variables, an introduction, Springer, GTM 125, 1991), pour ne citer que celui là,
puisqu’il m’a servi de guide constant de par la proximité de leur point de vue et du mien,
se révélera beaucoup plus complet pour une lecture “à tête reposée”.
Ce cours (que le souci des applications a contribué fortement à orienter) est aussi ins­
piré de cours d’analyse complexe pour ingénieurs que j’ai eu l’occasion de dispenser il
y a quelques années à l’université de Maryland (USA). Il est ainsi enrichi de nombreux
exercices, issus en grande partie de mon expérience d’enseignement de l’analyse com­
plexe dans les petites classes de l’École Polytechnique dans les années 1980-1985, puis
en travaux dirigés à Bordeaux ; j’ai aussi profité de l’expérience de tous mes collabora­
teurs, ainsi que de celle que m’a apporté la préparation de l’épreuve écrite d’analyse à
l’agrégation de Mathématiques. La plupart de ces exercices (notés avec une astérisque *)
sont corrigés au terme de chaque chapitre ; les quelques exercices non corrigés sont des
exercices d’application directe du cours. Des problèmes, correspondant en général à des
sujets d’examen (ou inspirés de problèmes d’agrégation) sont aussi proposés.

Remerciements
Ces notes de cours se sont élaborées au cours de longues années, enrichies par les
fructueux échanges avec tous mes collègues de l’université de Bordeaux qui ont enseigné
avant moi ce cours, tandis que j’éprouvais autant de plaisir à les assister dans les scéances
de travaux dirigés ; je pense en particulier à Roger Gay et Ahmed Sebbar qui certainement
ont forgé mon goût à pareil enseignement. Les deux ouvrages de C. A. Berenstein et
R. Gay, “Complex variables: an introduction" (GTM 125, Springer, 1991) et “Complex
Analysis and Spécial Topics in Harmonie Analysis” (Springer, 1995) ont, comme je l’ai
souligné dans mon avant-propos, profondément éclairé mon point de vue. Le recul si
profond d’Ahmed Sebbar sur l’évolution de l’analyse complexe depuis plus d’un siècle,
sa culture et son respect des “anciens”, ainsi que son itinéraire de plusieurs variables à une
m’ont certainement beaucoup influencé. Je ne parlerai pas de Roger, à qui je dois plus que
tout ; mon vœu est que nous puissions un jour concrétiser sa magnifique idée d’un traité
de Valiron “actualisé”.
Je dois aussi beaucoup à Chantal Ménini, Nicolaï Nikolskii, Mohamed Zarrabi, qui m’ont
cette année épaulé en assurant les travaux dirigés de ce cours ; plusieurs exercices pro­
posés ici leur sont dus ; c’est aussi à eux que je dois toutes les innombrables et pertinentes
remarques qui m’ont fait modifier la rédaction primitive de ces notes.
Un grand merci aussi à Carlos Berenstein ; les séjours à l’université de Maryland, certes
dévolus à nos travaux de recherche en commun, m’ont aussi donné l’occasion d’enseigner
l’analyse complexe pour les ingénieurs et enrichi mon expérience ; certains aspects de ce
cours en ont été indéniablement marqués.
Je tiens aussi à remercier Mrs Charles-Michel Marie et Philippe Pilibossian qui m’ont fait
le plaisir d’accueillir cet ouvrage dans leur collection, ainsi que Madame Corinne Baud
et les éditions Ellipses pour leurs précieux conseils. Je tiens également à exprimer toute
ma gratitude à Mr Charles-Michel Marie pour le soin avec lequel il a relu mon manuscrit
et l’aide si précieuse qu’il m’a ainsi apportée.
Merci aussi mille fois à Françoise, à Pierre, à Marion, pour avoir enduré tout au long de
ces années tous les “à côté” (combien pénibles, je le sais bien) qui ont émaillé la lente
préparation de cet ouvrage.
Que mes chers parents enfin, pour toute la curiosité à laquelle ils n’ont eu de cesse de
m’éveiller, pour tout ce qu’ils m’ont apporté, et que je ne saurais leur rendre, trouvent ici
un bien modeste signe de ma si profonde reconnaissance !