Analiz 4

334 Pages·1978·2.26 MB·Turkish

by  ali nesin

Ali Nesin
1956’da ...
Nesin Yay(cid:16)nc(cid:16)l(cid:16)k Ltd. S(cid:24)ti.
ku(cid:127)nye...
Ali Nesin
Analiz IV

_
I(cid:24)cindekiler
U(cid:127)(cid:24)cu(cid:127)ncu(cid:127) Bas(cid:16)ma O(cid:127)ns(cid:127)oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I_kinci Bas(cid:16)ma O(cid:127)ns(cid:127)oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
O(cid:127)ns(cid:127)oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0 R O(cid:127)rne(cid:21)gi 5
0.1 Bir Noktada Su(cid:127)reklilik ve Kom(cid:24)suluk . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.1.1 Tan(cid:16)m(cid:16) D(cid:127)onu(cid:127)(cid:24)stu(cid:127)rme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.1.2 Kom(cid:24)suluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.1.3 Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.1.4 Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.2 Su(cid:127)reklilik ve A(cid:24)c(cid:16)k Ku(cid:127)meler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.2.1 A(cid:24)c(cid:16)k Ku(cid:127)meler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.2.2 Su(cid:127)rekli Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.2.3 R’nin A(cid:24)c(cid:16)k Altku(cid:127)melerinin S(cid:16)n(cid:16)(cid:13)and(cid:16)r(cid:16)lmas(cid:16) . . . . . . . 25
I Topoloji 27
1 Topolojik Uzay 29
1.1 Tan(cid:16)m ve O(cid:127)rnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2 Altku(cid:127)melerin I_(cid:24)ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Topolojik Uzaylarda Diziler ve Limitleri 35
2.1 Topolojik Uzaylarda Dizilerin Limitleri . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Hausdorff Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Topolojik Uzaylarda Su(cid:127)rekli Fonksiyonlar 43
3.1 Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Bir Noktada Su(cid:127)reklilik ve Kom(cid:24)suluk . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Topoloji U(cid:127)retmek 49
4.1 Giri(cid:24)s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Topoloji U(cid:127)retmek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
v
4.3 O(cid:127)ntaban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 R2 U(cid:127)zerine O(cid:127)klid Topolojisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5 Taban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.6 U(cid:127)retilen Topoloji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 I_ndirgenmi(cid:24)s Topoloji 63
5.1 Bir Fonksiyonu Su(cid:127)rekli K(cid:16)lmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 I_ndirgenmi(cid:24)s/K(cid:16)s(cid:16)tlanm(cid:16)(cid:24)s Topoloji . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 De(cid:21)ger Ku(cid:127)mesinde Topoloji Bulmak . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6 C(cid:24)arp(cid:16)m Topolojisi 71
6.1 I_ki Fonksiyonu Ayn(cid:16) Anda Su(cid:127)rekli K(cid:16)lmak . . . . . . . . . . . . 71
6.2 C(cid:24)arp(cid:16)m Topolojisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3 Su(cid:127)rekli Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4 C(cid:24)arp(cid:16)m Topolojisi (sonsuz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7 Topolojik E(cid:24)slemeler (Homeomor(cid:12)zmalar) 85
8 Kapal(cid:16) Ku(cid:127)meler 91
8.1 Kapal(cid:16) Ku(cid:127)meler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2 Kapan(cid:16)(cid:24)s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.3 Yo(cid:21)gun Altku(cid:127)meler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.4 Y(cid:16)(cid:21)g(cid:16)lma Noktas(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.5 Limit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.6 C(cid:24)arp(cid:16)m Topolojisinde I_(cid:24)c ve Kapan(cid:16)(cid:24)s . . . . . . . . . . . . . . . 102
9 Ba(cid:21)glant(cid:16)l(cid:16)l(cid:16)k 105
9.1 Ba(cid:21)glant(cid:16)l(cid:16)l(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2 Ger(cid:24)cel Say(cid:16)lar Ku(cid:127)mesinde Ba(cid:21)glant(cid:16)l(cid:16)l(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . 113
9.3 Kartezyen C(cid:24)arp(cid:16)mda Ba(cid:21)glant(cid:16)l(cid:16)l(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Topoloji Al(cid:16)(cid:24)st(cid:16)rmalar(cid:16) 117
II Metrik Uzaylar 119
10 Metrik Uzaylar 121
10.1 Tan(cid:16)m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.2 O(cid:127)rnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.3 Yuvarlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.4 Ultrametrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.5 I_zometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11 Metrik Uzaylarda Dizi Yak(cid:16)nsakl(cid:16)(cid:21)g(cid:16) 143
11.1 Yak(cid:16)nsakl(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
11.2 Kartezyen C(cid:24)arp(cid:16)mda Yak(cid:16)nsakl(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
11.3 Fonksiyon Ku(cid:127)melerinde Yak(cid:16)nsakl(cid:16)k. . . . . . . . . . . . . . . . 149
11.4 Ultrametriklerde Yak(cid:16)nsakl(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12 Cauchy Dizileri ve Tam Metrik Uzaylar(cid:16) 155
12.1 Cauchy Dizileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
12.2 Tam Metrik Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
12.3 p-sel Metrikte Cauchy Dizileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
13 Metrik Uzaylar, Topoloji ve Diziler 169
13.1 A(cid:24)c(cid:16)k Ku(cid:127)meler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
13.2 Topoloji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
13.3 Yak(cid:16)nsakl(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
13.4 Kapal(cid:16) Ku(cid:127)meler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
14 Metrik Uzaylarda Su(cid:127)reklilik 179
14.1 Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
14.2 Dizisel Su(cid:127)reklilik ve Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
14.3 Metrik Uzaylar(cid:16)n Normalli(cid:21)gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
15 Metrik Uzaylar(cid:16)n Tamlamas(cid:16) 189
15.1 Metrik Uzay Tamlamas(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
15.2 Bir Tamlama O(cid:127)rne(cid:21)gi: p-sel Tamsay(cid:16)lar Halkas(cid:16). . . . . . . . . . 198
III T(cid:16)k(cid:16)zl(cid:16)k 203
16 T(cid:16)k(cid:16)z Topolojik Uzaylar 205
16.1 O(cid:127)rtu(cid:127) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
16.2 T(cid:16)k(cid:16)z Ku(cid:127)me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
16.3 Basit ve Temel O(cid:127)zellikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
16.4 T(cid:16)k(cid:16)zl(cid:16)(cid:21)g(cid:16)n Bir Ba(cid:24)ska E(cid:24)sde(cid:21)ger Ko(cid:24)sulu . . . . . . . . . . . . . . . 213
16.5 Metrik Uzaylarda T(cid:16)k(cid:16)z Altku(cid:127)meler . . . . . . . . . . . . . . . . 216
16.6 T(cid:16)k(cid:16)z Ku(cid:127)melerin Sonlu Kartezyen C(cid:24)arp(cid:16)m(cid:16) . . . . . . . . . . . . 216
16.7 Rn’nin T(cid:16)k(cid:16)z Altku(cid:127)meleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
16.8 Tychonoff Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
17 C(cid:24)e(cid:24)sitli T(cid:16)k(cid:16)zl(cid:16)k Kavramlar(cid:16) 227
17.1 Y(cid:16)(cid:21)g(cid:16)lma Noktas(cid:16) T(cid:16)k(cid:16)zl(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
17.2 Dizisel T(cid:16)k(cid:16)zl(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
17.3 Tu(cid:127)mden S(cid:16)n(cid:16)rl(cid:16)l(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
17.4 Say(cid:16)labilir T(cid:16)k(cid:16)zl(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
17.5 Metrik Uzaylarda T(cid:16)k(cid:16)zl(cid:16)k Kavramlar(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . 241
18 T(cid:16)k(cid:16)zl(cid:16)k U(cid:127)zerine Daha Fazla 245
18.1 Lebesgue Say(cid:16)s(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
18.2 Du(cid:127)zgu(cid:127)n Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
18.3 Alexandroff Tek Nokta T(cid:16)k(cid:16)zlamas(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . 249
19 Cantor Ku(cid:127)mesi 253
19.1 Cantor Ku(cid:127)mesi’nin I_n(cid:24)sas(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
19.2 Aritmetik Yakla(cid:24)s(cid:16)m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
19.3 Geometrik Yakla(cid:24)s(cid:16)m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
IV Fonksiyonel Analizin Temelleri 265
20 Baire Kategori Teoremi 267
20.1 Biraz Temel Topoloji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
20.2 Baire Uzay(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
21 Fonksiyon Ku(cid:127)meleri ve Noktasal ve Du(cid:127)zgu(cid:127)n Yak(cid:16)nsakl(cid:16)k 279
21.1 Fonksiyonlar Ku(cid:127)mesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
21.2 Noktasal Yak(cid:16)nsakl(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
21.3 Du(cid:127)zgu(cid:127)n Yak(cid:16)nsakl(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
1
21.4 S(cid:16)n(cid:16)rl(cid:16) Fonksiyonlar Ku(cid:127)mesi ℓ (X;Y) . . . . . . . . . . . . . . 289
21.5 Fonk(X;Y) U(cid:127)zerine Mesafe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
21.6 Su(cid:127)rekli Fonksiyonlar Ku(cid:127)mesi C(X; Y) . . . . . . . . . . . . . . 293
21.7 Fonk(X;Y)’nin Metrikle(cid:24)smesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
21.8 Y = Rn O(cid:127)zel Durumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
22 Stone-Weierstrass Teoremi 299
23 Arzel(cid:18)a ve Ascoli Teoremleri 303
23.1 Giri(cid:24)s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
23.2 S(cid:16)n(cid:16)rl(cid:16)l(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
23.3 Tu(cid:127)mden S(cid:16)n(cid:16)rl(cid:16)l(cid:16)k ve E(cid:24)ssu(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
23.4 Arzel(cid:18)a ve Ascoli Teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
24 Urysohn O(cid:127)nsav(cid:16) ve Tietze Geni(cid:24)sleme Teoremi 313
24.1 Normal Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
24.2 Urysohn O(cid:127)nsav(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
24.3 Tietze Geni(cid:24)sleme Teoremi - Sel(cid:24)cuk Demir . . . . . . . . . . . . 318
Kaynak(cid:24)ca 320
(cid:127) (cid:127)
U(cid:24)cu(cid:127)ncu(cid:127) Bas(cid:16)ma Ons(cid:127)oz
MustafaYa(cid:21)gc(cid:16)kitab(cid:16)ba(cid:24)stana(cid:24)sa(cid:21)g(cid:16)okuyarakonlarcaifadebozuklu(cid:21)gunudu(cid:127)zeltti.
YusufU(cid:127)nlu(cid:127) hocamgenede(cid:21)gerlikatk(cid:16)lardabulundu.Herikidostumadasonsuz
te(cid:24)sekku(cid:127)rler.
Ali Nesin, S(cid:24)ubat 2014
_ (cid:127)
Ikinci Bas(cid:16)ma Ons(cid:127)oz
HacettepeU(cid:127)niversitesi’ndenTunaHaticeYalvac(cid:24)kitab(cid:16)ba(cid:24)stansonavesat(cid:16)r
sat(cid:16)r okuyarak, hem verdi(cid:21)gi emekle hem de buldu(cid:21)gu yanl(cid:16)(cid:24)slarla beni mahcup
etti.
Mimar Sinan U(cid:127)niversitesi’nden David Pierce ve (cid:127)o(cid:21)grencileri de hat(cid:16)r(cid:16) say(cid:16)l(cid:16)r
say(cid:16)da du(cid:127)zeltme g(cid:127)onderdiler. Bununla yetinmeyip bir(cid:24)cok konuda hakl(cid:16) peda-
gojik ve dille ilgili uyar(cid:16)larda bulundular. Di(cid:21)ger kitaplar(cid:16)m(cid:16) da kendilerine
(cid:127)oneririm!
En (cid:24)cok, i(cid:24)cinde bol yanl(cid:16)(cid:24)s bulunan kitaplardan (cid:127)o(cid:21)grenilir! Bunun benim i(cid:24)cin
bir avuntu olmas(cid:16) do(cid:21)gru oldu(cid:21)gu ger(cid:24)ce(cid:21)gini de(cid:21)gi(cid:24)stirmiyor!
Birinci bas(cid:16)m(cid:16)n (cid:127)ons(cid:127)ozu(cid:127)nde, Tietze Geni(cid:24)sleme Teoremi’ni (Altb(cid:127)olu(cid:127)m 24.3)
kaleme alan Sel(cid:24)cuk Demir’e te(cid:24)sekku(cid:127)r etmeyi unutmu(cid:24)sum; (cid:127)ozu(cid:127)r dileyerek(cid:24)simdi
te(cid:24)sekku(cid:127)r ediyorum.
Du(cid:127)zeltmeler ve iyile(cid:24)stirmeler d(cid:16)(cid:24)s(cid:16)nda birkac(cid:24) al(cid:16)(cid:24)st(cid:16)rma ve (cid:127)ornek ekledim.
Eme(cid:21)gi ge(cid:24)cen meslekta(cid:24)slar(cid:16)ma hem kendi hem de kitaptan yararlanacaklar
ad(cid:16)na (cid:24)cok te(cid:24)sekku(cid:127)r ederim.
Ali Nesin, Nisan 2012