análisis de alea análisis de aleatoriedad en señales y sistemas

680 Pages·2007·4.18 MB·Spanish

GGGGGEEEEERRRRRMMMMMÁÁÁÁÁNNNNN CCCCCAAAAASSSSSTTTTTEEEEELLLLLLLLLLAAAAANNNNNOOOOOSSSSS DDDDDOOOOOMMMMMÍÍÍÍÍNNNNNGGGGGUUUUUEEEEEZZZZZ
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U N C
NIVERSIDAD ACIONAL DE OLOMBIA
S M
EDE ANIZALES
ISBN: 978-958-8280-13-4
2007 UNIVERSIDAD NACIONAL
DE COLOMBIA SEDE MANIZALES
AUTORES:
GERMÁN CASTELLANOS DOMÍNGUEZ
Ingeniero en Radiocomunicaciones
Ph.D en Radiotecnia
Profesor Asociado
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
YURI SEMENOVICH SHINAKOV
Ingeniero en Radiotecnia
Ph.D en Radiotecnia
Doctor en Ciencias Técnicas
Director Departamento de Sistemas Radiotécnicos
Profesor Titular
Universidad Técnica de Comunicaciones e Informática
de Moscú
REVISADO:
JULIO CÉSAR GARCÍA ÁLVAREZ
Ingeniero Electrónico
Magíster en Ingeniería Electrónica y de Computadores
Profesor Asistente
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
FRANKLIN ALEXANDER SEPÚLVEDA SEPÚLVEDA
Ingeniero Electrónico
Magíster en Automatización Industrial
Profesor Asistente
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
IMPRESO:
Centro de Publicaciones
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
Junio de 2007
Primera edición
Este libro está hecho con ayuda de KOMA-Script y LATEX
Prefacio
El libro que se presenta a continuaci´on es el fruto de varios an˜os de trabajo y de investigaci´on. Los m´as
recientes, dedicados a plasmar en las p´aginas los conocimientos quese tienen de los temas, deuna manera
cuidadosa,pedag´ogica,ymoderna.Losan˜osanteriores,aconsolidarlasexperienciaseneltrabajodiariode
sen˜alesysistemasconlosconceptoste´oricos,adquiridosymaduradosconantelaci´on.Lasensaci´onqueuno
tiene al leer el documento es la de saborear un buen vinotinto franc´es, probablementeun Burdeos, queal
envejecerhasabidopulirsealextremodeserperfecto,yquealdescorcharlo sedesprendenlosaromasylos
bouquets que contiene. El profesor Germ´an Castellanos ha sabido conjugar el aparato matem´atico te´orico
conlaexperienciaadquiridaatrav´esdelosnumerososproyectosdeinvestigaci´onconaplicacionesasen˜ales
devoz, electrocardiogr´aficas, etc. Suformaci´on depostgrado en unodelos centros m´as representativosdel
mundo en el an´alisis de sen˜ales se lo ha permitido. Este es un libro escrito con la cabeza fr´ıa de la escuela
rusa, pero a un pulsocaliente, como el talante latino, colombiano, boyacense incluso.
El autor escogio´ para escribir el tema de sen˜ales, y bas´o su exposici´on en buenas uvas: los sistemas
ortogonales, las variables aleatorias, y los procesos estoc´asticos de Markov. Podemos decir que el coupage
es excelente, y se auguraun productodeexcepci´on. Sin embargo, es el trato mimoso del en´ologo lo queva
aconferiralvinosucalidezysusuntuosidad.As´ı,eltratamientoqueelprofesorCastellanosdaalostemas
es carin˜oso y de una claridad expositiva envidiable. De cada tema, se escogen ejemplos selectos, que nos
dan la nota de cata de cada cap´ıtulo. Se evoluciona desde ejemplos claros y b´asicos, a los m´as elaborados,
y as´ı aprendemos que la obra del profesor es una obra completa. En efecto, la parte m´as matem´atica
correspondiente a las demostraciones de los teoremas se deja solo entrever, primero, por la complejidad
misma, y segundo, para no perder el hilo de la exposici´on. Es ya en esos matices cuando vemos la calidad
delaobra,querespiraunairefrescoyuntratamientomoderno.Vemosah´ıqueelautorhapensadoeneste
librotambi´encomoundocumentodetrabajodelestudiantedepostgrado,yesah´ıdondehayqueagradecer
el esfuerzo deeste verdaderoen´ologo delas sen˜ales.
Ellibrotratatemasdif´ıciles,comosonlosdeergodicidadydescomposici´onespectral,laconvergenciayla
continuidaddeprocesosaleatorios. Enelcap´ıtulo4semuestranlosprocesosdeMarkov,conlaperspectiva
moderna de los Modelos Ocultos de Markov, quetantas aplicaciones est´an encontrando en todas las ´areas
de la ciencia aplicada. El profesor Castellanos sabe qu´e vino quiere hacer degustar, y dedica unas p´aginas
interesantesalentrenamiento,laclasificaci´onycomparaci´ondemodelos.Enesemomentopodemosdisfrutar
delbouquet exquisitodellibro.Otromomentodondeellibrodesprendetodossusaromasesenloscap´ıtulos
finales, donde el autor nos indica el objetivo u´ltimo de esta obra: los m´etodos de detecci´on y filtraci´on de
sen˜ales aleatorias, y desistemas din´amicos.
Despu´esdeleer yreleer laobra,disfrutandodelacalidad delaexposici´on, noquedam´asqueagradecer
alprofesorCastellanossulabor,yladesuscolaboradoresdesugrupodetrabajoacad´emico.Yesperarque
el en´ologo nos sorprenda de nuevo con otro muy exquisito libro, que sin duda estudiantes e investigadores
van a demandarmuy prontamente.
Gerard Olivar, Manizales, 2007

Introducci´on
Several years ago I reached the
conclusion that the Theory of
Probability should no longer be treated
as adjunct to statistics or noise or any
terminal topic, but should be included
in the basic training of all engineers
and physicists as a separate course
Papoulis
Elinter´esporelestudiodelassen˜alesaleatorias1 siguesiendoactual,au´ncuandosuaplicaci´onasociada
a la tecnolog´ıa e ingenier´ıa cuenta con varias d´ecadas de desarrollo. Particular importancia tienen los
m´etodosyt´ecnicasdean´alisisenpresenciadealeatoriedadensen˜alesysistemas,queest´enrelacionadoscon
las tecnolog´ıas de proceso discreto, en las cuales el empleo de m´etodos efectivos matem´aticos se ha hecho
masivo, gracias a la aparici´on de dispositivos digitales dealto rendimiento.
Elestudiodelfen´omenodealeatoriedadensen˜alesysistemasest´adirectamenterelacionadoconelan´alisis
de las propiedades de interacci´on cuando se tiene algu´n grado deincertidumbre o informaci´on incompleta.
La principal fuente de aleatoriedad est´a asociada, entre otros factores, con las perturbaciones de medida,
la presencia de sen˜ales extran˜as, y tal vez el m´as importante, la informaci´on u´til que llevan las mismas
sen˜ales. En este sentido, es cada vez mayor el inter´es por el empleo de m´etodos de proceso digital de
sen˜ales, basados en matem´atica estad´ıstica, que se orientan principalmente a la soluci´on de dos tareas: la
representaci´on adecuada del conjunto de sen˜ales para la soluci´on de un problema concreto, que tenga en
cuentalas condiciones reales dela aplicaci´on y,segundo, el proceso ´optimo delas sen˜ales recogidas.
El material dispuesto en el presente texto describe las formas b´asicas de representaci´on y proceso de
sen˜ales aleatorias, con especial´enfasis en los modelos de an´alisis matem´atico estad´ıstico, quese considera,
tienenunaportesignificativoenlaformulaci´onysoluci´ondeaplicacionesenlas´areasdesismolog´ıa,an´alisis
de biosen˜ales, sistemas de medida, sistemas de control y seguimiento, radiocomunicaci´on, entre otros. Por
eso, el contenido presentado corresponde a la evoluci´on en el an´alisis de aleatoriedad desde las sen˜ales
hasta su asociaci´on con los respectivos sistemas de proceso. En cada secci´on se presentan, tanto ejemplos
como problemas (incluyendo algunos ejercicios en el computador), que tienen como intenci´on mejorar y
complementar la percepci´on delmaterial te´orico analizado.
Elcontenidodeltextoeselsiguiente:elcap´ıtuloIdescribelosfundamentosderepresentaci´ondetermin´ıs-
tica de sen˜ales y sistemas. El cap´ıtulo II presenta la caracterizaci´on de variables aleatorias y las t´ecnicas
b´asicasdeestimaci´on.Aunqueelmaterialdeamboscap´ıtulossesuponeconocido,porejemplodeloscursos
de Teor´ıa de Sen˜ales y Teor´ıa de Probabilidades, es pertinente su inclusi´on a fin de recordar aspectos y
definicionesimportantesquesehacennecesariosparaelentendimientodeloscap´ıtulosposteriores.Elcap´ı-
tulo III describe las particularidades en la representaci´on de procesos aleatorios en el tiempo, incluyendo
su an´alisis experimental.Debidoalaimportancia delosprocesos estoc´asticos deMarkov,estosseanalizan
poraparteenelcap´ıtuloIV,conespecialatenci´onenelan´alisisexperimentalmediantelosmodelosocultos
deMarkov.Elcap´ıtuloVcorrespondealan´alisis delatransformaci´on desen˜alesaleatorias ensistemas,as´ı
comolaformaci´on deprocesosaleatoriosmediantesistemaslineales.Elcap´ıtuloVIpresentalosprincipales
m´etodos de detecci´on y filtraci´on de sen˜ales aleatorias, entendida como la optimizaci´on de la forma de
representaci´on delos dispositivos de proceso.
Por u´ltimo, la necesidad de aumentar la efectividad del funcionamiento de los sistemas de control, en
condiciones de factores aleatorios, ha estimulado el desarrollo de m´etodos de optimizaci´on orientada a
1Aleatorio. Del Lat´ın aleator˘ius, propiodel juego de dados. RealAcademia dela Lengua
iv Introducci´on
mejorar el registro y precisi´on de la informaci´on sobre las propiedades de la planta a disen˜ar, as´ı como
de los reg´ımenes de su funcionamiento. En este sentido, el cap´ıtulo VII describe el an´alisis de sistemas
estoc´asticos, en particular, se analiza la filtraci´on Kalman.
El material est´a orientado a los estudiantes de posgrado, que requieran profundizar en el an´alisis de
procesosaleatorios.Adem´as,sepuedeemplearcomomaterialdeayudaenelcursodeProcesosEstoc´asticos.
Elmaterialte´oricopresentadotienecar´acterdereferencia,yporestonosedaladeducci´ondevariasdelas
expresiones, brind´andosela literatura necesaria para la profundizaci´on decada tema en particular.
Finalmente, se agradece a los profesores Julio F. Su´arez, Gerard Olivar y Sergey Adzhemov por sus
consejos y correcciones hechos para dar mayor precisi´on y entendimiento del presente trabajo. Se aprecia
tambi´en la colaboraci´on que prestaron los estudiantes del programa posgrado, Jorge Jaramillo, Luis G.
S´anchez,Juli´anD.Arias,MauricioA´lvarez,DavidAvendan˜o,Andr´esF.Quicenoytodosaquellos,quienes
pacientementeleyeron, siguieron y colaboraron con la evoluci´on de los diferentes borradores del texto.
Los Autores, 2007
´
Indice general
1. Sen˜ales y sistemas 1
1.1. Representaci´on discreta de sen˜ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Espacio derepresentaci´on de sen˜ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Descomposici´on en funcionesortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3. Ejemplos de conjuntosortogonales completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Representaci´on integral de sen˜ales y sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Densidad espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3. Representaci´on integral desistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4. Representaci´on desistemas nolineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Discretizaci´on desen˜ales y sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1. Discretizaci´on uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2. Transformadas ortogonales discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3. Representaci´on ortogonal desistemas en tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4. Representaci´on din´amica desistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.1. Sistemas lineales en variables deestado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.2. Soluci´on dela ecuaci´on deestado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2. Variables aleatorias 41
2.1. Valores y funciones deprobabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1. Espacio probabil´ıstico devariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.2. Valores medios y momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.3. Funciones deprobabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.4. Modelos de funciones deprobabilidad con dimensi´on mu´ltiple . . . . . . . . . . . . . 67
2.1.5. Medidas deinformaci´on en variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2. Estimaci´on en variables aleatorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2.1. Estimaci´on puntualde momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.2.2. Intervalos deconfianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.2.3. Estimaci´on depar´ametros en la distribuci´on normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.2.4. Prueba dehip´otesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.2.5. Estimaci´on dedependenciasfuncionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.3. Teor´ıa dedecisi´on estad´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.3.1. Definiciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.3.2. Decisi´on Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.3.3. Decisi´on noBayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3. Sen˜ales aleatorias 115
3.1. Sen˜ales aleatorias en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
v
vi ´Indice general
3.1.1. Estacionariedad delas sen˜ales aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1.2. Ergodicidad de las sen˜ales aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.1.3. Descomposici´on espectral de sen˜ales aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.1.4. Densidad espectral de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.1.5. Convergencia y continuidad deprocesos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2. An´alisis experimentalde sen˜ales estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.2.1. Estimaci´on demomentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.2.2. Estimaci´on delos coeficientes en la descomposici´on K-L . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.2.3. Estimaci´on dela densidad espectral depotencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.2.4. Estimaci´on depar´ametros deregresi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.3. Estimaci´on espectral noparam´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.3.1. M´etodo de los periodogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.3.2. Algoritmo dec´alculo del m´etodo deperiodograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.3.3. Ventanasdeestimaci´on espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.4. Estimaci´on espectral param´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.4.1. Reacci´on deun sistema lineal a unasen˜al estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.4.2. Modelos param´etricos desen˜ales aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.4.3. Estimaci´on delos par´ametros a partirde la funci´onde correlaci´on . . . . . . . . . . 172
4. Procesos de Markov 177
4.1. Definici´on y clasificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.1.1. Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.1.2. Procesos discretos deMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.1.3. Procesos continuos deMarkov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.1.4. Sucesiones deMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.2. An´alisis experimentalde procesos de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.2.1. Modelos ocultos de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.2.2. Entrenamientodel modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.2.3. Clasificaci´on y comparaci´on modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5. Transformaci´on de aleatoriedad 225
5.1. Paso desen˜ales aleatorias porsistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.1.1. An´alisis en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.1.2. An´alisis en la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.1.3. Empleo de operadores lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.2. Paso desen˜ales aleatorias porsistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.2.1. M´etodos delinealizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.2.2. Series deVolterra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.3. Transformaci´on deprocesos deMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.3.1. Transformaci´on de sen˜ales aleatorias reales porprocesos deMarkov. . . . . . . . . . 249
5.3.2. Modelos detransformaci´on de sen˜ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.3.3. Ejemplos deprocesos generados de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
5.3.4. Discretizaci´on deprocesos continuosdeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6. Detecci´on y filtraci´on 265
6.1. M´etodos dedetecci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.1.1. Detecci´on bayesiana desen˜ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.1.2. Detecci´on dem´axima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.2. Estimaci´on de par´ametros en sen˜ales aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.2.1. Estimaci´on en condiciones de ruidoaditivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.2.2. Estimaci´on dem´axima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.2.3. Combinaci´on lineal desen˜ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.3. Filtraci´on ´optima lineal porm´ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
´Indice general vii
6.3.1. Optimizaci´on de la respuesta aimpulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.3.2. Condicio´n derealizaci´on f´ısica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
6.3.3. Filtros acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7. Sistemas estoc´asticos 295
7.1. Modelos desistemas din´amicos con entradasaleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.1.1. Sistemas lineales estacionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.1.2. Variables de estado y modelado deprocesos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
7.1.3. Estimaci´on depar´ametros en sistemas estoc´asticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
7.1.4. Identificaci´on de par´ametros en sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
7.2. Filtraci´on desistemas din´amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
7.2.1. Filtraci´on Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
7.2.2. Filtraci´on ´optima desistemas discretos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
7.2.3. Filtraci´on ´optima desistemas continuoslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
7.2.4. Filtraci´on desistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
7.2.5. Filtraci´on adaptativade sistemas din´amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Bibliograf´ıa 323
´Indice alfab´etico 327
Notaciones
Notaci´on Significado
,x Escalar, Vectorescalar
x
, (cid:3) Funci´on con variable , Conjugado de por
x(s) x (s) s x s
Valor dela funci´on en el argumento
x(sk) sk
, Funci´on con par´ametros y argumento , vector funcional
fa;b(s) fff f a;b s
Serie o sucesi´on devalores con volumen
fxk :k=1;:::;Ng N
Sen˜al discretizada (base normalizada )
x[k℄ k
Producto internode e
hx;yi x y
, Distancia entrelos elementos e , o entrelas funciones e
d(xm;yn) d(x;y) xm yn x y
Norma de
kxk x
Trayectoria dela sen˜al
xk(t) k x(t)
Primera, segunda derivadadela funci´on por
x_(s);x(cid:127)(s) x s
x , X Rango del vectorx,de la matriz X
rank( ) rank( )
, Energ´ıa dela sen˜al ,Potencia dela sen˜al
EZf Pf, T Matriz deorden f , Matriz transpuestfa
m(cid:2)n (cid:8)(cid:8)(cid:8) m(cid:2)n
Jacobiano por las variables
JJJ(x1:::;xn) x1;:::;xn
, , X Soporte dela funci´on ,cardinal de ,traza deX
supp(x)
ar(x) tra
e( ) x x
, Matriz unitaria, vectorunitario
IIIiii
X Conjunto, espacio
Orden del nu´merodeoperaciones
OfNg
Funci´on devalores despreciables,
oK(x) Transformada (operador) sobre oco(xn)a/xrg!um0e;nxto!0
F fZxgL(s) T. Fourier, Zeta, Laplace x s
; ;
Representaci´on espectral con variable
X(s) s
Dominio de los enteros, naturales, reales y complejos
Z;N; R; C
Parte real de , parteimaginaria de
<fxg;=fxg x x
Sen˜al aleatoria (alfabeto griego) devariable
(cid:24)(s) s
X -´algebra desubconjuntosdeBorell sobre el espacio X
B( ) (cid:27) B
, Funci´on dedistribuci´on integral, Funci´on deprobabilidad
F(cid:24)(x) P(x)
, FDP dela variable aleatoria ,FDP con argumentos e
p(cid:24)(x) p(cid:24)(x;y) (cid:24) x y
n Valor esperado deorden (promedio deensamble)
Ef(cid:24) g n
Valor esperado deorden (promedio detiempo)
(cid:24)n(t) n
, Momento inicial, centralizado deorden de la variable
mn(cid:24) (cid:22)n(cid:24) n (cid:24)
2 Varianza dela variable
(cid:27)(cid:24) Funci´on caracter´ıstica d(cid:24)ela variable
(cid:2)(cid:24)(!) (cid:24)
Valor estimado de
(cid:24)~ (cid:24)
, Funci´on decorrelaci´on y covarianza mutuaentre y
R(cid:24);(cid:17)((cid:1)) K(cid:24);(cid:17)((cid:1)) (cid:24) (cid:17)
Espectro depotencia de
S(cid:24)(!) (cid:24)
Relaci´on de verosimilitud parala variablealeatoria
(cid:3)(cid:24) (cid:24)
Distribuci´on (Gaussiana)(uniforme) con media y varianza 2
N;U(m1(cid:24);(cid:27)(cid:24)) m1(cid:24) (cid:27)(cid:24)