Analisi due : la matematica non è un problema

67 Pages·1999·19.306 MB·Italian

by  Miller, Robert

Bob Miller non insegna 1n un'università d'élite; 11 suo college è una scuo
la come tante. i suoi studenti sono ragani che. anno dopo anno, affron
tano. con le d1ff1coltà e le paure d1 tutti i ragani normali. i loro primi
esami d1m atematica.
Eppure questo insegnante del City College of New York è diventato. negli
Stati Urnll. una vera e propria celebrità nazionale: non per la sua gerna
l1tà. né per la brillanteua delle sue ricerche. ma semplicemente perché,
con umiltà e passione d1datt1ca. 1n oltre trent'anni di insegnamento, ha
aiutato generaz1on1 d1 studenti a sopraw1vere all'impatto con la mate
I llbrl di Bob Mlllor non sono dcl normali oserclzla·
rl, della sorte "1999 probleml risolti di. .. "; sono
piuttosto delle vero "lezlonl su carta".
Il lettore viene preso por mano o guidato, passo
dopo passo, nella comprensione del concetti mato
matlcl, dalla soluziono dello equazioni di primo
grado fino al calcolo di integrali multlpll.
lo stilo è colloquialo, amichevole, a volto scherzo
so; l'osposlzlono è ben lontana dal formalismo e
dalla freddezza del tipici tosti di matematica.
L'Autore ricorro a tutti i trucchi di una consumata
esperienza didattica por rendere digeribili al letto
ri anche gH argomenti più ostici: esempi, esercizi,
spiegazioni Intuitive e scorciatole di calcolo sono
utlllzzate con maestria, senza però mal spingersi
oltre Il punto ove sarebbe compromesso Il rigore
concettuale della spiegazione.
.
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LA MATEMATICA NON È UN PROBLEMA
ANALISI DUE
Robert Miller
Malhematics Deparlmenl
City College of New York
McGraw-Hill Libri Italia srl
Milano • New York • St. Louis • San Francisco • Auckland • Bogota
Caracas • Lisboa • London • Madrid • Mexico City
Montreal • New Delhi • San Juan • Singapore
Sydney • Tokyo • Toronto
INDICE
Allo studente ix
CAPITOLO I Coordinate polari, lunghezza di archi, superfici di rotazione
Coordinate polari 4
Lunghezza di una curva e arca di una superficie cli rotazione 12
s
Tttolo originale: Bob Miller Cale/or rhe Clueless CAPITOLO 2 Applicazioni degli integrali 15
Copyright© 1998 McGrnw-Hill Companie . lnc.
TI lavoro 15
Copyright© 1999 McGraw-Hill Libri Italia rl Calcolo di volumi 17
via Ripamonti, 89 Volume di sezioni 24
20139 Milano
Esempio finale 26
I diri11i di traduzione, di riproduzione, di memorizzazione elCllronica e di adattamento
totale e parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono CAPITOLO 3 Vettori, rette e piani 29
riservati per tulli i paesi.
Punti nello spazio 29
Nomi e marchi citati nel testo sono generalmente depositati o registrati alle rispettive Vettori 33
case produttrici.
Piani o rette nello spazio 40
McGraw-Hill zz Distanza di un punto da un piano, distanza fra due rette 46
i\ On•u"'" o(ThcM<Cru"' I lil!Companaa Equazioui parametriche nello spazio 46
Editor: Alberto Kratter Thalcr
CAPITOLO 4 Curve a tre dimensioni 49
Redazione: Chiara Tartara
Produzione: Gino La Rosa
Traduzione: Chiara Ro signoli
CAPITOLO 5 Limiti e derivate a due dimensioni 53
lmpagina1ione: Tecnograf srl -Trezzo sull'Adda (Mi)
Stampa: Cromografica Europea - Rho (Mi) Derivate parziali 56
Variazione totale 59
Derivata di funzione composta 61
Uguaglianza delle derivate seconde miste 63
ISB 88 386 5056-X
l' edizione scnembre 1999
CAPITOLO 6 Derivate direzionali, massimi e minimi 65
Printed in ltaly
L234567890CROCR0932 I 09 Derivala di funzione implicita 70
VI INDICE
71
Mnssimi o minimi di funzioni di duo variabili
73 PRESENTAZIONE
Molliplicnlori di Lagrnngo
77
CAPITOLO 7 Integrali doppi
83
Integrale doppio in coordinale polari
87
CAPITOLO 8 Integrali tripli
90
Coordinate cilindriche
92
Coordinale sferiche Prima di lutto, una parola per cercare di chiarire che
cosa questo libro non è: non è un libro di lesto di mate
CAPITOLO 9 Campi vettoriali, integrali di linea 97 matica, con il suo linguaggio rigoroso e il suo usuale ap
lntograli di linea 100 parato di definizioni, teoremi e dimoslrazioni; e non è
Teorema fondamentale por gli integrali di linea 104 neppure il solito eserciziario, con le centinaia e centinaia
di problemi, svolti e da svolgere.
CAPITOLO IO Teorema di Green e altri 110194 Cpehre icnocso'nè trdaurne q(suiea? p Puorotr esomlom noe dllier ep acgoisnì:e èd iu unn'o clicbarsoi)o unne
Altri teoremi
grande insegnante, e per farsi guidare e sostenere da lui
nel primo impatto con la matematica in università.
Questo è il compito che Bob Miller si è assunto, con en
tusiasmo e dedizione, nei suoi oltre trent'anni di inse
gnamento: aiutare gli studenti a "sopravvivere alla mate
matica".
Bob Miller non insegna in un'università d'élite. Il City
College of New York è una scuola come tante, che avverte
acutamente il problema della "mortalità" studentesca, e la
matematica è una delle cause principali di questa morta
lità: gli studenti affrontano il primo esame di Analisi ma
tematica con paura e trepidazione; se subiscono un in
successo, si scoraggiano, perdono il passo ... e spesso ciò
prelude all'abbandono degli studi.
Bob MiUer, in tutta la sua carriera di insegnante, ha cercato
di combattere questa sindrome; non con la scorciatoia, in
gannevole e controproducente, di corsi ed esami più facili,
ma con il rimedio autentico di una grande passione di
dattica, che gli consente di mettersi nei panni dello stu
dente, di prevenire i suoi dubbi e le sue incertezze, di aiu
tarlo a superare i trabocchetti - e forse, alla fine, di infon
dergli un po' dcl proprio amore per la matematica.
VIII P R ES E N T A Z I O N E
Questi libri derivano dall'esperienza didattica di Bob
Miller e sono quasi - o almeno vorrebbero essere - una ALLO STUDENTE
versione stampata delle sue lezioni: ci auguriamo che
aiutino a combattere quella paura della matematica
che, anche nel nostro Paese, è uno dei peggiori incubi
dogli studenti - e una delle principali cause di morta
lità (negli studi!).
Questo libro è stato scritto per te; non per il t.uo inse
gnante, non per i tuoi compagni, né per i tuoi vicini di
casa, ma solo ed esclusivamente per te.
Ho cercato di essere più chiaro possibile, nelle spiega
zioni così come negli esempi; tuttavia, anche se detesto
doverlo riconoscere, non sono perfetto. Se ti accadesse cli
trovare quaJche punto nel libro che ti è incomprensi
bile, o di notare qualche errore o qualche significativa
mancanza, ti prego di farmelo sapere; cercherò di rime
diare nella prossima edizione.
E ora, mettiamoci al lavoro; vedrai che la matematica
non è poi così brutta (né così difficile) come te l'hanno
descritta ...
BOB MILLER
SI PRESENTA
Mi sono laureato in matematica al Brooklyn Poly, ora
Polytcchnic University.
La prima volta che ho insegnalo (in sostituzione dcl do
cente di ruolo) ho sentito uno studente dire a un suo
compagno mentre usciva dall'aula: "Almeno ora abbiamo
uno che è in grado di insegnarci questa roba". Da quel
momento sono stato catturato per sempre dall'insegna
mento.
Ho insegnalo al Weslficld State College, nel Massachusetts,
alla Rulgers e al City College di New York, dove ho tra
scorso i miei ultimi 29 anni.
Per quanto male possa stare prima di entrare in aula, mi
sento sempre benissimo quando mi metto a insegnare. Mi
piace particolarmente insegnare ai corsi base di matema
tica, e sono felicissimo quando uno studente mi viene a
dire che aveva sempre odialo la matematica e non ci
aveva mai capilo un accidente, ma che seguendo il mio
corso si è reso con lo che la materia è comprensibile, e può
essere perfino divertente.
Per mc, insegnare la matematica è una grande gioia;
spero di riusci.re a trasmettervi un po' di questa gioia.
RINGRAZIAMENTI
I lo molto persone da ringraziare.
Dovo ringraziare, prima di tutto, mia moglie Marlone,
che rende la vita degna di essere vissuta, e i due bambini
più meravigliosi dcl mondo, Shcryl o Eric.
Un grazio anche a mio fratello Jerry, per avermi incorag
giato nel lavoro o per l'aiuto nella produzione artigianale
dci miei manoscritLi.
Grazie a Bernice Rothstein del City College di New
York e a Sy Solomon del Middlescx County Community
College per la loro gentilezza e il loro incoraggiamento.
Grazie al Dr. Robcrt Urbansky, direttore dcl Dipartimento
di Matematica al Middlcscx, per aver raccomandato i
miei libri agli studenti, avendo riscontralo che li trova
vano utili.
Grazie a Bill Summers dcl reparto audiovisivi del CCNY
por il suo aiuto in questa e in altro imprese.
Un ringraziamento alle colonne portanti di tre scuole, le
rispetti ve segretarie: Hazel Spenccr a Mi ami (Ohio).
Libby Alam e Efua Tongé al City Collego di New York e
Sharon elsoo alla Rutgers.
Un ringraziamento a Marly Levine di Market Sourcc per
aver sottoposto i miei testi alla McGraw-llill.
Un ringraziamento, naturalmente, anche alla McGraw
Hill, e in particolare a fohn Carico, john Aliano, David
Bcckwilh e Pal Koch. Barbara Gilson, Mary Loebig Giles
e Michelle Molazza Bracci, di McGraw-Hill, e Mare
Campbell, della orth Market Streel Grapbics, hanno
contribuilo notevolmente a migliorare la qualità edito
riale di questi libri.
Voglio ringraziare i miei genitori, Lee e Cele, che hanno
XIV RINGRAZIAMENTI
CAPITOLO I
visto l'inizio della scrillura di questi libri, ma non hanno COORDINATE
potuto vederne la conclusione.
Infine, un grazie a tre grandi amici, tre persone che mi POLARI, LUNGHEZZA
hanno sostenuto nei momenti più difficili: Gary Pitkolsky,
David Schwinger e Keilh Ellis.
DI ARCHI, SUPERFICI
DI ROTAZIONE
Non sempre le coordinale cartesiane .funzionano bene; in
certi casi, per semplificare il procedimento si ricorre a
dei parrunetri, ossia a nuove variabili più facili da trallare
di quelle di partenza.
ESEMPIO I
Considero le lre variabili x, y, t legate fra loro dalle rcla-
zioni
X = 2t y = t2/4 - 1 -2 $ t $ 4
Pertanto vale
t X y
o
- 2 -4
-1 -2 -3/4
o o -1
1 2 -3/4
o
2 4
3 6 5/4
4 8 3
Riportiamo sul piano i valori dix e y.
Risolvendo rispello a t la relazione x = 2t olleniamo
t = x/2 che sostituita nell'altra relazione dà
2 CAPITOLO I Coordinate polari, lunghe z:z:a di archi, superfici... 3
y = (x/2)2/4 - 1 = x2fl6 - 1 che è davvero orribile ... questo è un caso in cui abbiamo
proprio bisogno dei parametri.
o risulta evidente che in questo caso non avevamo biso
gno del paramolro t. Volevo solo faro un semplice esem
Prima di affronta.re la cicloide, vediamo come calcolare
pio iniziaJe!
le derivalo noi caso di funzioni che dipendano da tu10
stesso paramelro.
Un caso che si incontra spesso è
ESEMPIO 4
X= COS t y = sen t Valo
Anche in questo caso il parametro è superfluo, poiché x = t4 +1,y= l6 - 5
x2 + y2 = 1.
da cui
''iil:ua1.w1
d /dx = dy/dt
y dx/dt
Considero una circonferenza tangente all'asse x nell'ori
gine. Metto un sogno sul punto di tangenza e faccio "ro dy/dt=8l7
tolare" la circonferenza I ungo] 'asso x. ln corrispondenza
dx/dt = 4t3
il punto traccia una curva detta cicloide. Le coordjnatc di
tale punto sono e infine
x = a (t - sen t) dy/dx = 8t7/4l3 = 2l4
y =a (t - cos t) Ora vogliamo calcolare d2y/dx2 attenzione, non si tratta
;
ili derivare separatamente numeratore o deoomjoalorc di
dx/dy, n6 di derivarlo come quoziente. o, perché la de
rivata seconda è la derivata della derivala prima; pertanto
dobbiamo calcolare
d2y d(y') d(y')/dt
dx2 = CiX = dx/dt
- d(2l4)/dt = ~ = 2
7ta. - d(t4 + 1)/dt 4t3
Come vedete, nel precedente caso come negli Esempi 1 o
2 si sarebbe potuto eliminare t, ma sappiamo già che
Allo scopo di eliminare t, risolvo rispetto a t la seconda
non sempre ciò è possibile, come nel caso dcl cicloide
cqua~one,ottenondo dell'Esempio 3. Torniamo a tale caso.
l = arccos (1 - yla)
ESEMPIO 3 PROSECUZIONE
da cui
Consideriamo Ja cicloide, ossia la curva di equazioni pa
x = a [arccos(J - y/a) - sen (a.rccos(l - y/a))) rametriche