Análise Real

150 Pages·2007·35.48 MB·Portuguese

by  Elon Lages Lima

Lima, ElonLages
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Análise real, v.3 :Análise vetorial Elen Lages Lima.
Rio deJaneim :IMPA,200?.
143p. :il.. ;23 cm. (Coleçãomatemática universitária)
Inclui bibliografia.
ISBN
9?8—85—244-0269—2
]. Análise Matemática. [.Título. I]. Série.
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COLEÇÃO MATEMÁTICA
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(D.C.
Análise Real
volume 3
Análise Vetorial
Elon Lages Lima
U.F.M.G. - BwIBLIOTwECAwUNIVERSITÁRM
NÃODAMHQUEESTAETIQUETA
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lrnrrrum DF.MATEMATICAmmEAMICADA
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Copyright© 2007byEloaLagesLima
Direitosreservados,200?pelaAssociaçãoInstituto
Nacionaldei'viaterruitieaParae.Aplicada—IMPA
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EstradaDonaCasiorina, 110
22460-320RiodeJaneiro, RJ
impressonoBrasil PrintedinBrazil
Capa:RodolfoCapetoeNoniGeiger.
ColeçãoMatematicaUniversitaria
ComissãoEditorial:
EloaLagesLima(Editor)
S.CollierCoutinho
PauloSad
Titulos Publicados:
Análise Real,vol. I: Funçõesde uma“variável— ElonLagesLima
EDP: UmCursodeGraduação— Valeria Iório
CursodeÁlgebra, Volume 1—Abramo l—lefez
ÁlgebraLinear— ElenLagesLima
Introduçãoàs CurvasAlgébricas Planas—Israel's'ainsenelier
EquaçõesDiferenciaisAplicadas —DjairoG.de FigueiredoeAloisioFreiriaNeves
—
GeometriaDiferencial PauloVenturaAraújo
IntroduçãoaTeoriadosNúmeros— JosePlíniodeOliveiraSantos
CálculoemumaVariávelComplexa-—MarcioG. Soares
GeometriaAnalítica eÁlgebraLinear——EloaLagesLima
NúmerosPrimos:Mistériose Recordes PauloRibenboiru
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AnálisenoEspaçoR"—ElonLagesLima
AnáiiseReal,1.—'ol.2:FunçõesdenVariáveis— ElonLagesLima
Álgebra Exterior EloaLagesLima
EquaçõesDiibreneiaisOrdinárias—ClausivoDoeringeArturOscarLopes
AnáliseReal,vai.3:Análise 1"."-eterial—ElonLagesLima
Distribuição:
IMI-“A
lísiradaDonaCasiorina, ]10
22460—320RiodeJaneiro, RJ
e-mail:�����������������∏����������
Iiilpzr'r'www,impahr BiBLIO�T−E��C�F−i−�U−N[VER$[TPIR1£:
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Conteúdo
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1 Integrais Curvilíneas ∙∙∙∙∙∙∙
..................................
1Formas diferenciais de..g..ra..u..1.................................. I
2 Integrais curvilíneas 11
.......................................
3 Invariância hoinotópica 14
fechado
4 0 número ele voltas de umcaminho ..... 21
............................
5Exercícios ........................- 24
.....
2. Formas Alternarlas mu.....28
................................
1. Aplicações r—líneares ..,.28
2. Formasalternadas 31
3. Determinantes .......................34
4. O produtoexterior de funcionais lineares ................. .,.. 38
. ................
5. Coordenadas e matrizes em iii,-(E) ... ... .,... 410
∙
6. & Álgebra de Grassmann ............................43
?. Exercicios
3. Formas Diferenciais ................. ...... ..........50
1. Primeirasdefinições- Sil
2. A diferencial exterio5r 6
∙
3. Exercícios .,.. 65
4. ÚhneTitel 67
.....................
1. A, vizinhança tubular 6“?
2. Partições da unidade 75
........................
3. O Teorema de Jordan-Brouwer 83
∙
Apêndice: Toda hiperfíciecompacta.& orientável . . . . 87
-—'1.Exereíciobs ªi
.....
OTeorerna de Stoke—s 91
l. Integral desuperfície ....... ..............................91
2. Suprãeri'iiíúescom bordo98
(')'l'eoremadeStol—ze1s 09
[i.
«l. A i'nªioni-a'fão imlnsida no bordo ................. .... .... ... 113
5. Análise vr-lriria] classica ............. ... ...∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 118
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6. Soluções dos Exercícios ...... ..... ... ................124
,
l. Integrais curvilíneas .. .... .................................12-41
,
..........................................
2. Formas alternadas 128
.........................................
3. Formas diferenciais 133
.
4. OhneTitel 136
5. O Teorema. de Stokes ............................13?
. . . .
Referências Bibliográficas .. ....�∙ + ... , ,.141
IlldiCERemiSSivº idlb'UIIi'O—lelli-llllll14,2
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Prefácio
Em prosseguimento aos assuntos tratados nos dois volumes ante-
riores, fazemos neste livro uma.introdução às integrais curvilíneas e de
superfície.
'It'aidiciotialiiierite, as superfícies sobre as quais se.calculam essas .in—
i.egrais são aquelas contidas no espaço tridimensional. Isto permite que
se integrem campos de vetores. Se1 entretanto,, a (fo-dimensão de su-
perfície e superior a 1 (mesmo (me ele seja l'iiiílimensional), nela não
['a-'a-seutido integrar umcampo de vetores. O objeto adequado paraser
postosob osinal de integralé umaforma dilerencial, titulo eseucaráter
intríuseco, independente da parametrização tomada pararepresenta-la
analíticamente.
Oul;ragrandevantagemdasformas sobreosvetores eoseu ladofunc-
torial, queseexprimeassim: sef :ild N e umaaplicaçãodiferenciável
dasuperfícieM na.superfície N,acadaformaou emN correspondeuma
forma fªto em dªli e a correspondência e: �−�∫����∙∙�� goza. de propriedades
sirr'iples, elegantes e úteis. (rl'rata-se, na.verdade, de umaformalização
do antigo conceito de mudança de variáveis.) Garngfios de vetores1 por
seu turno, são rígidos. Não se prestama nmdanças de variáveis, salvo
em casos bemespeciais.
a Análise Vetorial classica gira em torno dos chamados Teoremas
Integrais, associados a. nomes ilustres como Gauss, Green, Stokes, Rie—
mann, Ostrogradsky, etc.. Com o uso das formas diferenciais (eSpecial-
mentedadiferenciaçãoexteriordevida.aE.Catªtau)todos cªssesteoremas
se reduzem a “um único, conhecido (umtanto injustamente) como Teo-
rematile o qual se exprime de maneiraconcisa e elegante soh a.
[turma,[&“w:f1_, rio;.
Explicarosignilicadodaigualdadeacima.: esclarecendocadaconceito
nelaenvolvido, dar algumas aplicações e ilustrar as diversas utilidades
ile seus cinnponcntes éo principalobjetivo deste livro.
lil (purse dr'isneeessario esclarecer que este pequeno trabalho contém
uma introdução a alguns issuntos relevantes, cuja ];iresençano
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universitario inirnn'lznntm. (')s [tipicosaqui apresenta-
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dos serao reencontrados maistarde em diferentes teorias matemáticas.
Para a publicação deste livro, contei com a colaboração de Fran-
cisco Petrúcio1 que cuidou das figuras, Aryana Cavalcante, que fez uma
cuidadosa revisão, José Regis,que revisouos dois primeiros capítulos e
Wilson Goes, que se encarregou da digitação.
Riode Janeiro,junho de 200?
131,0sz LAGES LIMA
1
Integrais Curvilíneas
1 Formas diferenciais de grau 1
Corno vimos no 1ir'ol. 2 (pag. 101), se f: U −�3. é umafunção diferen—
ciável no aberto U C E", sua diferencial em cada ponto :s E U é e
funcional linear off(:r) [':—Bª)“ cujo valor no setor ,, E lºt” É
af.
= ,,,—,e) =
cafe) (grama-s.
Na notação tradicional do Calculo, a base canônica. de (Hªiª, dual
dabase canônica [e1, .., cn]- Riº“, é rem-escutadapor [dou,...,drrrnl.
A expressão do funcional riffs) em termos desta limas-e (:
F?'. _&—f(:r.)
(if(;r):. dir,-_.
«aª—1 (hºlª
Isto sugere adefinição seguinte.
L'maforme diferencial de grau 1,ou simplesmente uma l-jermode-
finida no coI'ijunt-o X Etª“, a umaaplicação m:X [tirªr, A cada
pontoI E X, associa e funcional linear cuts), o qual se exprime em
lermos da base [dm, ...,dr:,,] ('É-sªlª como
H-
Zed-:s)
w(;r:) «Lar,-.
:
i=l
As I��'u��u��w��c�s���o∙�.�∙.�.��. ., u... : Á“ (anjos rulcu'es∙�e�m����c��a��d�a���]'iouto :'r E X
��∙����� as do lilllu'iullul ml.:f) são tais que
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2 IntEgraíS Curvilíneas Cap. 1
ogia) =ao(s) -e,;. Quando X =U E“ e aberto e essas [ilações sao de
classe Ciª, diz—se que tu e umaforma de classe Cª“ e escreve—sc w Ciª.
Sea!=df & adiferencial de umafunçãof : U lit, diz—se que to e uma
frame areia em U e quef é sua sensitiva. Evidentemente, se e E lit,
f+ e também e primitivade ar.
Ao afirmar que a forma eu a exata, e indispensável capeciiicar seu
domínio U. Uma forma as: U (Nãº)“ pode ser exata num aberto
if U e não ser exata em U.
Intiniauineme associado a l-E'orma m:X (H.”? e o tampo de ve-
tores e: X −�R" tal que na(s) n. = ('U(:T),'U) para todo vetor E E"
e todo ponto 9: E X. Em cada ponto e: €; X, se ao(s) = ∑�fr,-[moer,-
então o(a) = (o1[:r), ...,o,,[:r)] =∑�ti,-(mk,-. A forma a; = df (:exata
se, e somente se, e:gradj'. A função [chama-se então umafunção
potencialdo campo e.
Assim, o estudo das formas diferenciais de grau 1definidas em sub—
conjuntos de espaço IP,—'.;q equivale ao estudo dos campos de vetores de-
Ilnidos nesses conjuntos e a questao de saber se umaforma e exata ou
nãocorresponde aindagar seo campo devetores que lhecorresponde a
umcampo gradiente.
Umacondição necessária.paraque a. 1-forrnaa;=):aida;, declasse
01 no aberto U C IR", seja exata aque sejam satisfeitas as chamadas
ª
921
condições de integrabiiidode BI,.- = [i,j= 1,...,o).
de:,-
Comefeito.. se a:= df então o.; = ("if/ 3:11,-, ]íiortanio
(”Ja,- õºf : Sºf :ao];
de, de:,(3:11; E),-rede:, (31231; '
. 835.
em virtude doTeoremadeSchwarz.Analogamente, as condico__.es 8_ =
_ ';c,:l
r)o”'' sao necessa,rias paraque o campo de vetores C”, e: L,' —+ Eli,“, dado
(
por o(s) = [o.1(r1:),...,e.,,(_s:)), seja o campo gradiente de uma função
]:if ��∙ lit, de classe Cº.
Quandoas: U −�(Rªjª,declasse Cª,cumpreascondiçõesdo,[833,-=
Eiojãn, diz—se que a forma éfechada. Com esta terminologia, toda
fm'maexata. é» fechada.
Mas nemtoda Formafechada e exata, Umexa-niploé fornecido pela
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Seção 1 Formas diferenciais de grau 1 3
forma Q: Éliº — [O]−���(Bºlª“ deiinidapor
_?! II..
Escrevendo Si—−−−odre+bdy,u1ncalculo simples mostraque
Bb _ yº —srº __ ao.
(357: − (srº+gºlº _ By ,
—
lego E!é fechada. Entretanto,se U litº (i)]é umaberto quecontem
tuna circunferência C, de raio r e centro naorigem, 9 nãoe exata em
U. Paramostrar isto, consideraremos o campo de vetores e: U �−−���� IE?,
associado a.9, o qual édado por
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?ª,(nª“:IU) * 132—∙∙�y∙yº 1352+yº '
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Figura 1. Calllpúdevetores unitários avi.-ir,y)=
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(Vª,rrª_yº)−�∙�����������
campo -r.'[."r,;r,r) −�−� ��∙�∙���� + g,] éassociadoà forma Q.
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