Table Of Content

(cid:0) AN INTRODUCTION TO C (cid:2)ALGEBRAS (cid:3)Chapters (cid:4) to (cid:5)(cid:6) Pierre de la Harpe and Vaughan Jones (cid:7) (cid:8) UNIVERSITE DE GENEVE July (cid:4)(cid:5)(cid:5)(cid:9) SECTION DE MATHE(cid:7)MATIQUES Case postale (cid:10)(cid:11)(cid:12) (cid:8) CH (cid:2) (cid:4)(cid:10)(cid:4)(cid:4) GENEVE (cid:10)(cid:11) Typeset by AMS(cid:2)TEX P(cid:2) de la Harpe and V(cid:2) Jones(cid:3) July (cid:4)(cid:5)(cid:5)(cid:6)(cid:2) (cid:0) AN INTRODUCTION TO C (cid:2)ALGEBRAS (cid:3)CHAPTERS (cid:4) TO (cid:5)(cid:6) Pierre de la Harpe and Vaughan Jones INTRODUCTION From November (cid:4)(cid:5)(cid:5)(cid:7) to February (cid:4)(cid:5)(cid:5)(cid:8)(cid:3) Vaughan Jones gave an introductory Lecture (cid:0) Course on C (cid:9)algebrasin Lausanne(cid:3) for the (cid:10)Troisi(cid:11)eme Cycle Romand de Math(cid:12)ematiques(cid:13) (cid:14)some lectures were prepared by P(cid:2)H(cid:2) and by Alain Valette(cid:15)(cid:2) The audience was very hete(cid:9) rogeneous(cid:3) consisting of a mixture of beginners and of mature mathematicians(cid:3) most of them workingquite outside the (cid:16)eld of functional analysis(cid:3) as well as a few physicists(cid:2) One of the (cid:10)leit(cid:9)motives(cid:13) was to illustratethe theory with the (cid:16)nite dimensionalsituation(cid:2) One of the goals was to get a reasonable understanding of the CAR algebra(cid:3) as it is used for the representation theory of loop groups of compact Lie groups(cid:2) During the academic year (cid:4)(cid:5)(cid:5)(cid:8)(cid:17)(cid:5)(cid:6)(cid:3) Pierre de la Harpe has given a similar set of lec(cid:9) tures in Geneva(cid:3) for the (cid:10)Dipl(cid:18)ome d(cid:19)E(cid:12)tudes Sup(cid:12)erieures en math(cid:12)ematiques de la r(cid:12)egion l(cid:12)emanique(cid:13)(cid:3) with the extra fantasy of writing up notes(cid:2) More often than not(cid:3) it has been di(cid:20)cult to obtain an acceptable compromise between the desire to keep some of the light(cid:9) ness of the spoken lectures on one hand(cid:3) and the heavy need to (cid:16)ll in details as be(cid:16)ts a written exposition on the other hand(cid:2) The result is as follows(cid:3) so far for the (cid:16)rst chapters only(cid:2) It is possible that these notes will be improved and completed at some future date(cid:2) Any comment will be welcome(cid:2) Thanks are due to Roland Bacher for his help in proofreading the present notes(cid:2) The (cid:16)rst author is responsible for mistakes which could be left in what follows(cid:2) References (cid:0) ArE(cid:2) H(cid:2) Araki and G(cid:2)A(cid:2) Elliott(cid:3) On the de(cid:2)nition of C (cid:3)algebras(cid:3) Publ(cid:2) RIMS(cid:3) Kyoto Univ(cid:2) (cid:0) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:3) (cid:6)(cid:8)(cid:10)(cid:5)(cid:5)(cid:11)(cid:2) Art(cid:2) Artin(cid:3) Geometric algebra(cid:2) (cid:0) Arv(cid:2) W(cid:2) Arveson(cid:3)An invitation to C (cid:3)algebras(cid:3) Springer(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:2) ABS(cid:2) M(cid:2)F(cid:2) Atihah(cid:3) R(cid:2) Bott and R(cid:2) Shapiro(cid:3)Cli(cid:4)ord modules(cid:3) Topology (cid:2) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:13)(cid:9)(cid:3) (cid:8)(cid:10)(cid:8)(cid:14)(cid:2) Bar(cid:2) V(cid:2) Bargmann(cid:3)Note on Wigner(cid:5)s theorem on symmetry operations(cid:3) Jour(cid:2)Math(cid:2) Physics(cid:3) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:13)(cid:9)(cid:3) (cid:14)(cid:12)(cid:11)(cid:10)(cid:14)(cid:12)(cid:14)(cid:2) Bea(cid:2) R(cid:2) Beals(cid:3) Topics in operator theory(cid:3) The University of Chicago Press(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:5)(cid:2) (cid:0) BCH(cid:5)(cid:2) M(cid:2) Bekka(cid:3) M(cid:2) Cowling and P(cid:2) de la Harpe(cid:3) Simplicity of the reduced C (cid:3)algebra of PSL(cid:4)n(cid:2)Z(cid:9)(cid:3) Internat(cid:2) Math(cid:2) Res(cid:2) Notices (cid:4) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:6)(cid:13)(cid:9)(cid:3) (cid:11)(cid:14)(cid:15)(cid:10)(cid:11)(cid:6)(cid:5)(cid:2) Typeset by AMS(cid:10)TEX (cid:5) (cid:11) PIERRE DE LA HARPE AND VAUGHAN JONES (cid:0) BCH(cid:11)(cid:2) M(cid:2) Bekka(cid:3) M(cid:2)CowlingandP(cid:2) dela Harpe(cid:3)Some groups whose reduced C (cid:3)algebra is simple(cid:3) Pub(cid:2) Math(cid:2) I(cid:2)H(cid:2)E(cid:2)S(cid:2) (cid:5)(cid:6) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:6)(cid:13)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:5)(cid:7)(cid:10)(cid:5)(cid:8)(cid:13)(cid:2) Bl(cid:5)(cid:2) B(cid:2) Blackadar(cid:3) K(cid:3)theory for operator algebras(cid:3) Publ(cid:2) MSRI (cid:3)(cid:3) Springer(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:12)(cid:2) Bl(cid:11)(cid:2) B(cid:2) Blackadar(cid:3) Symmetries of the CAR algebra(cid:3) Annalsof Math(cid:2) (cid:7)(cid:2)(cid:7) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:6)(cid:16)(cid:9)(cid:3) (cid:15)(cid:14)(cid:6)(cid:10)(cid:12)(cid:11)(cid:8)(cid:2) BoD(cid:2) F(cid:2)F(cid:2) Bonsall and J(cid:2) Duncan(cid:3) Complete normed algebras(cid:3) (cid:17)Ergebnisse der Math(cid:2)(cid:18) (cid:5)(cid:6)(cid:3) Springer(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:2) Bou(cid:2) N(cid:2) Bourbaki(cid:3) Th(cid:6)eories spectrales(cid:7) chapitres (cid:8) et (cid:9)(cid:3) Hermann(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:7)(cid:2) (cid:0) Br(cid:5)(cid:2) O(cid:2) Bratteli(cid:3) Inductive limits of (cid:2)nite dimensional C (cid:3)algebras(cid:3) Trans(cid:2) Amer(cid:2) Math(cid:2) Soc(cid:2) (cid:7)(cid:4)(cid:7) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:11)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:15)(cid:10)(cid:11)(cid:8)(cid:13)(cid:2) (cid:0) Br(cid:11)(cid:2) O(cid:2) Bratteli(cid:3)Structure spaces of approximately(cid:2)nite(cid:3)dimensional C (cid:3)algebras(cid:3)J(cid:2)FunctionalAnal(cid:10) ysis (cid:7)(cid:8) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:13)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:11) (cid:11)(cid:16)(cid:13)(cid:2) BrR(cid:2) O(cid:2) Bratteli and D(cid:2)W(cid:2) Robinson(cid:3) Operator algebras and quantum statistical mechanics(cid:7) I and II(cid:3) Springer(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:6) and (cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:5)(cid:2) Bro(cid:2) L(cid:2)G(cid:2) Brown(cid:3)Extensions of AF algebras(cid:10) the projection lifting problem(cid:3)in(cid:17)Operator algebrasand applications(cid:3) Kingston(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:16)(cid:18)(cid:3) part I(cid:3) Amer(cid:2) Math(cid:2) Soc(cid:2) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:11)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:7)(cid:15)(cid:10)(cid:5)(cid:7)(cid:12)(cid:2) Cal(cid:2) J(cid:2)W(cid:2) Calkin(cid:3) Two sided closed ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hilbert space(cid:3) Annals of Math(cid:2) (cid:9)(cid:10) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:13)(cid:5)(cid:9)(cid:3) (cid:14)(cid:8)(cid:6)(cid:10)(cid:14)(cid:7)(cid:8)(cid:2) Ch(cid:5)(cid:2) C(cid:2) Chevalley(cid:3)The algebraic theory of spinors(cid:3) ColumbiaUniversity Press(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:15)(cid:13)(cid:2) Ch(cid:11)(cid:2) C(cid:2)Chevalley(cid:3)The construction and study of certain important algebras(cid:3)TheMath(cid:2)Soc(cid:2)ofJapan(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:15)(cid:15)(cid:2) Coo(cid:2) J(cid:2)M(cid:2) Cook(cid:3) The mathematics of second quanti(cid:2)cation(cid:3) Trans(cid:2) Amer(cid:2) Math(cid:2) Soc(cid:2) (cid:4)(cid:9) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:15)(cid:8)(cid:9)(cid:3) (cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:10) (cid:11)(cid:13)(cid:15)(cid:2) (cid:0) Cun(cid:2) J(cid:2) Cuntz(cid:3)Simple C (cid:3)algebras generated by isometries(cid:3) Commun(cid:2)Math(cid:2) Phys(cid:2) (cid:3)(cid:4) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:7)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:10)(cid:5)(cid:14)(cid:15)(cid:2) Di(cid:5)(cid:2) J(cid:2) Dieudonn(cid:19)e(cid:3)Les fondements de l(cid:5)analyse moderne(cid:3) Gauthier(cid:10)Villars(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:8)(cid:2) Di(cid:11)(cid:2) J(cid:2)Dieudonn(cid:19)e(cid:3)Schurfunctionsandgrouprepresentations(cid:3)in(cid:17)Ast(cid:19)erisque(cid:18)(cid:5)(cid:4)(cid:11)(cid:5)(cid:5)(cid:3)Soc(cid:2)Math(cid:2)France (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:6)(cid:9)(cid:3) (cid:7)(cid:10)(cid:5)(cid:6)(cid:2) Di(cid:8)(cid:2) J(cid:2) Dieudonn(cid:19)e(cid:3)Cours de g(cid:6)eom(cid:6)etrie alg(cid:6)ebrique(cid:7) vol(cid:11) (cid:9)(cid:3) Presses Univ(cid:2) France(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:13)(cid:2) (cid:0) DC(cid:20)(cid:2) J(cid:2) Dixmier(cid:3) Les C (cid:3)alg(cid:12)ebres et leurs repr(cid:6)esentations(cid:3) Gauthier(cid:10)Villars(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:6)(cid:2) e DvN(cid:2) J(cid:2) Dixmier(cid:3) Les alg(cid:12)ebres d(cid:5)op(cid:6)erateurs dans l(cid:5)espace hilbertien (cid:13)alg(cid:12)ebres de von Neumann(cid:14)(cid:7) (cid:9) (cid:6)edition(cid:3) Gauthier(cid:10)Villars(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:6)(cid:2) Dou(cid:2) R(cid:2)G(cid:2) Douglas(cid:3) Banach algebra techniques in operator theory(cid:3) AcademicPress(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:11)(cid:2) DuS(cid:2) N(cid:2) DunfordandJ(cid:2)T(cid:2)Schwartz(cid:3)Linear operators(cid:7) part II(cid:10) spectral theory(cid:7) self(cid:3)adjoint operators in Hilbert spaces(cid:3) Interscience(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:8)(cid:2) (cid:0) E(cid:21)(cid:2) E(cid:2) E(cid:21)ros(cid:3) Dimensions and C (cid:3)algebras(cid:3) CBMS Regional Conf(cid:2) Ser(cid:2) in Math(cid:2) (cid:9)(cid:8)(cid:3) Amer(cid:2) Math(cid:2) Soc(cid:2)(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:5)(cid:2) EHS(cid:2) E(cid:2)E(cid:21)ros(cid:3)D(cid:2)HandelmanandC(cid:2)L(cid:2)Shen(cid:3)Dimension groupsandtheir a(cid:15)nerepresentations(cid:3)Amer(cid:2) J(cid:2) Math(cid:2) (cid:7)(cid:6)(cid:10) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:16)(cid:9)(cid:3) (cid:8)(cid:14)(cid:15)(cid:10)(cid:13)(cid:16)(cid:7)(cid:2) Ell(cid:2) G(cid:2)A(cid:2)Elliott(cid:3)Ontheclassi(cid:2)cation ofinductivelimits ofsequencesofsemisimple (cid:2)nite(cid:3)dimensional algebras(cid:3) J(cid:2) of Algebra (cid:2)(cid:5) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:9)(cid:3) (cid:11)(cid:6)(cid:10)(cid:13)(cid:13)(cid:2) Enf(cid:2) P(cid:2) En(cid:22)o(cid:3) A counterexample to the approximation property in Banach spaces(cid:3) Acta Math(cid:2) (cid:7)(cid:2)(cid:6) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:3) (cid:8)(cid:16)(cid:6)(cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:7)(cid:2) Eva(cid:2) D(cid:2)E(cid:2) Evans(cid:3) Completely positive quasi(cid:3)free maps on the CAR algebra(cid:3) Commun(cid:2)Math(cid:2) Phys(cid:2) (cid:4)(cid:6) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:9)(cid:3) (cid:15)(cid:8)(cid:10)(cid:12)(cid:14)(cid:2) Fav(cid:2) J(cid:2) Favard(cid:3) Le(cid:16)cons sur les fonctions presque(cid:3)p(cid:6)eriodiques(cid:3)Gauthier(cid:10)Villars(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:8)(cid:8)(cid:2) FoM(cid:2) D(cid:2) Ford et J(cid:2) McKay(cid:3) Representations and Coxeter graphs(cid:3) in (cid:17)The Geometric Vein(cid:3) the Coxeter Festschrift(cid:18)(cid:3) C(cid:2) Davis(cid:3) B(cid:2) Gru(cid:23)nbaumand F(cid:2)A(cid:2) Sherk editors(cid:3)Springer(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:5)(cid:9)(cid:3) (cid:15)(cid:13)(cid:6)(cid:10)(cid:15)(cid:15)(cid:13)(cid:2) Fuc(cid:2) L(cid:2) Fuchs(cid:3)In(cid:2)nite abelian groups (cid:13)Volumes I and II(cid:14)(cid:3) AcademicPress(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:16) and (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:2) GeN(cid:2) I(cid:2)M(cid:2) Gelfandand M(cid:2)A(cid:2) Naimark(cid:3)On the embedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space(cid:3) Mat(cid:2) Sb(cid:2) (cid:7)(cid:10) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:13)(cid:8)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:10)(cid:11)(cid:5)(cid:8)(cid:2) Gli(cid:2) J(cid:2)G(cid:2)Glimm(cid:3)On a certain class of operatoralgebras(cid:3)Trans(cid:2)Amer(cid:2)Math(cid:2)Soc(cid:2) (cid:0)(cid:3) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:16)(cid:9)(cid:3) (cid:8)(cid:5)(cid:14)(cid:10)(cid:8)(cid:13)(cid:16)(cid:2) (cid:0) GlK(cid:2) J(cid:2)G(cid:2) Glimm and R(cid:2)V(cid:2) Kadison(cid:3) Unitary operators in C (cid:3)algebras(cid:3) Paci(cid:24)c J(cid:2) Math(cid:2) (cid:7)(cid:6) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:16)(cid:9)(cid:3) (cid:15)(cid:13)(cid:7)(cid:10)(cid:15)(cid:15)(cid:12)(cid:2) (cid:0) AN INTRODUCTION TO C (cid:10)ALGEBRAS (cid:4)CHAPTERS (cid:5) TO (cid:6)(cid:9) (cid:8) GoJ(cid:2) D(cid:2)M(cid:2)GoldschmidtandV(cid:2)F(cid:2)R(cid:2)Jones(cid:3)Metaplecticlink invariants(cid:3)GeometriaeDedicata (cid:2)(cid:7) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:6)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:12)(cid:15)(cid:10)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:2) GHJ(cid:2) F(cid:2) Goodman(cid:3) P(cid:2) de la Harpe et V(cid:2) Jones(cid:3) Coxeter graphs and towers of algebras(cid:3) Publ(cid:2)MSRI (cid:8)(cid:10)(cid:3) Springer(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:6)(cid:2) Gu(cid:5)(cid:2) A(cid:2)Guichardet(cid:3)Produitstensorielsin(cid:2)nisetrepr(cid:6)esentationsdesrelationsd(cid:5)anticommutation(cid:3)Ann(cid:2) Ecole NormaleSup(cid:2) (cid:5)(cid:2) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:12)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:10)(cid:15)(cid:11)(cid:2) Gui(cid:2) A(cid:2)Guichardet(cid:3)Symmetric Hilbertspaces and relatedtopics(cid:3) SpringerLectureNotesinMath(cid:2)(cid:10)(cid:8)(cid:7)(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:11)(cid:2) HaK(cid:2) R(cid:2) Haag and D(cid:2) Kastler(cid:3) An algebraic approach to QFT(cid:3) J(cid:2) Math(cid:2) Phys (cid:3) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:13)(cid:9)(cid:3) (cid:14)(cid:13)(cid:14)(cid:10)(cid:14)(cid:12)(cid:5)(cid:2) Hal(cid:2) Halmos(cid:3) A Hilbert space problem book(cid:3) van Nostrand(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:7)(cid:3) and Springer(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:13)(cid:2) Har(cid:2) P(cid:2) de la Harpe(cid:3) Initiation (cid:12)a l(cid:5)alg(cid:12)ebre de Calkin(cid:3) in (cid:17)Alg(cid:25)ebres d(cid:26)op(cid:19)erateurs(cid:3) Les Plans(cid:10)sur(cid:10)Bex(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:14)(cid:18)(cid:3) SpringerLecture Notes in Math(cid:2) (cid:4)(cid:10)(cid:3) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:14)(cid:16)(cid:10)(cid:11)(cid:5)(cid:6)(cid:2) (cid:0) HeR(cid:2) R(cid:2) Hermann and J(cid:2) Rosenberg(cid:3) Norm(cid:3)close group actions on C (cid:3)algebras(cid:3) J(cid:2) Operator Theory (cid:8) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:5)(cid:9)(cid:3) (cid:11)(cid:15)(cid:10)(cid:8)(cid:7)(cid:2) HeS(cid:2) E(cid:2) Hewitt and K(cid:2) Stromberg(cid:3)Real and abstract analysis(cid:3) Springer(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:15)(cid:2) HuK(cid:2) N(cid:2)M(cid:2) Hugenholtz and R(cid:2)V(cid:2) Kadison(cid:3) Automorphism and quasi(cid:3)free states of the CAR algebra(cid:3) Commun(cid:2)Math(cid:2) Phys(cid:2) (cid:9)(cid:2) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:15)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:14)(cid:5)(cid:10)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:2) HuW(cid:2) W(cid:2) Hurewiczand H(cid:2) Wallman(cid:3) Dimension theory(cid:3) PrincetonUniv(cid:2) Press(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:13)(cid:14)(cid:2) Jac(cid:2) N(cid:2)Jacobson(cid:3)Structure theoryof simple rings without (cid:2)niteness assumptions(cid:3) Trans(cid:2)Amer(cid:2)Math(cid:2) Soc(cid:2) (cid:3)(cid:4) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:13)(cid:15)(cid:9)(cid:3) (cid:11)(cid:11)(cid:14)(cid:10)(cid:11)(cid:13)(cid:15)(cid:2) Jo(cid:2) V(cid:2)F(cid:2)R(cid:2) Jones(cid:3) A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras(cid:3) Bull(cid:2) Amer(cid:2) Math(cid:2) Soc(cid:2) (cid:7)(cid:10) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:15)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:16)(cid:8)(cid:10)(cid:5)(cid:5)(cid:11)(cid:2) KaR(cid:2) V(cid:2)KacandA(cid:2)R(cid:2)Raina(cid:3)Bombay lectureson highest weight representations of in(cid:2)nite dimensional Lie algebras(cid:3) World Scienti(cid:24)c(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:7)(cid:2) Kad(cid:2) R(cid:2)V(cid:2) Kadison(cid:3)Limits of states(cid:3) Commun(cid:2)Math(cid:2) Phys(cid:2) (cid:5)(cid:3) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:11)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:13)(cid:8)(cid:10)(cid:5)(cid:15)(cid:13)(cid:2) Kat(cid:2) Y(cid:2) Katznelson(cid:3) An introduction to harmonic analysis(cid:3) John Wiley(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:14)(cid:2) Kel(cid:2) J(cid:2)L(cid:2) Kelley(cid:3) General topology(cid:3)Van Nostrand(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:15)(cid:15)(cid:2) Kir(cid:2) A(cid:2)A(cid:2) Kirillov(cid:3) Elements of the theory of representations(cid:3) Springer(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:12)(cid:2) LiT(cid:2) J(cid:2) Lindenstrauss and L(cid:2) Tzafriri(cid:3) Classical Banach spaces I(cid:3) (cid:17)Ergebnisse der Math(cid:2) un ihrer Grenzbebiete(cid:18)(cid:0)(cid:10)(cid:3) Springer(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:7)(cid:2) Mac(cid:2) G(cid:2)W(cid:2) Mackey(cid:3) Unitary representations of group extensions(cid:3) Acta Math(cid:2) (cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:15)(cid:14)(cid:9)(cid:3) (cid:11)(cid:12)(cid:15)(cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:5)(cid:2) McK(cid:2) J(cid:2) McKay(cid:3) Graphs(cid:7) Singularities and Finite Groups(cid:3) in (cid:17)The Santa Cruz Conference on Finite Groups (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:9)(cid:18)(cid:3) Proc(cid:2) Symp(cid:2) PureMaths(cid:2) (cid:2)(cid:4)(cid:3) Amer(cid:2)Math(cid:2) Soc(cid:2) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:16)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:14)(cid:8)(cid:10)(cid:5)(cid:14)(cid:12)(cid:2) MiH(cid:2) J(cid:2) Milnor and D(cid:2) Husemoller(cid:3)Symmetric bilinear forms(cid:3) Springer(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:2) vNe(cid:2) J(cid:2) von Neumann(cid:3) Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren(cid:3) Math(cid:2) Ann(cid:2) (cid:7)(cid:6)(cid:10) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:11)(cid:6)(cid:9)(cid:3) (cid:8)(cid:7)(cid:16)(cid:10)(cid:13)(cid:11)(cid:7)(cid:2) (cid:0) Ped(cid:2) G(cid:2)K(cid:2) Pedersen(cid:3)C (cid:3)algebras and their automorphism groups(cid:3) AcademicPress(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:2) Pet(cid:2) D(cid:2) Petz(cid:3) An invitation to the algebra of Canonical Commutation Relations(cid:3) Leuven Notes in Mathematics and TheoreticalPhysics (cid:10)(cid:3) Leuven UniversityPress(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:6)(cid:16)(cid:2) (cid:0) PiV(cid:2) M(cid:2) Pimsnerand D(cid:2) Voiculescu(cid:3) Imbedding the irrational rotation C (cid:3)algebra into an AF(cid:3)algebra(cid:3) J(cid:2) Operator Theory (cid:9) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:16)(cid:9)(cid:3) (cid:11)(cid:16)(cid:5)(cid:10)(cid:11)(cid:5)(cid:16)(cid:2) PlR(cid:2) R(cid:2)J(cid:2) Plymen and P(cid:2)L(cid:2) Robinson(cid:3) Spinors in Hilbert space(cid:3) CambridgeUniversityPress(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:6)(cid:13)(cid:2) PoS(cid:2) G(cid:2) Polya and G(cid:2) Szego(cid:3) Problems and theorems in analysis(cid:7) volume I(cid:3) Springer(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:11)(cid:2) Po(cid:5)(cid:2) R(cid:2)T(cid:2)Powers(cid:3)Representations of uniformly hyper(cid:2)nitealgebrasand their associated von Neumann rings(cid:3) Annalsof Math(cid:2) (cid:5)(cid:8) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:7)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:8)(cid:14)(cid:10)(cid:5)(cid:7)(cid:5)(cid:2) (cid:0) Po(cid:11)(cid:2) R(cid:2)T(cid:2) Powers(cid:3)Simplicity of the C (cid:3)algebra associated with the free group on two generators(cid:3) Duke Math(cid:2) J(cid:2) (cid:9)(cid:10) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:15)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:15)(cid:5)(cid:10)(cid:5)(cid:15)(cid:12)(cid:2) PoS(cid:2) R(cid:2)T(cid:2) Powers and E(cid:2) Stormer(cid:3) Free states of the canonical anticommutation relations(cid:3) Commun(cid:2) Math(cid:2) Phys(cid:2) (cid:7)(cid:8) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:16)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:10)(cid:8)(cid:8)(cid:2) PrS(cid:2) A(cid:2) Pressley and G(cid:2) Segal(cid:3) Loop groups(cid:3) ClarendonPress(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:12)(cid:2) ReS(cid:2) M(cid:2)ReedandB(cid:2)Simon(cid:3)Methodsofmodernmathematicalphysics(cid:11)I(cid:10)functionalanalysis(cid:3)Academic Press(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:11)(cid:2) (cid:13) PIERRE DE LA HARPE AND VAUGHAN JONES RiN(cid:2) F(cid:2) Riesz and B(cid:2) SzNagy(cid:3) Le(cid:16)cons d(cid:5)analyse fonctionnellt(cid:7) cinqui(cid:12)eme (cid:6)edition(cid:3) Gauthier(cid:10)Villarsand Akad(cid:19)emiai Kiad(cid:19)o(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:14)(cid:2) Ru(cid:5)(cid:2) W(cid:2) Rudin(cid:3)Real and complex analysis(cid:3) McGraw(cid:10)Hill(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:12)(cid:2) Ru(cid:11)(cid:2) W(cid:2) Rudin(cid:3)Functional analysis(cid:3) McGraw(cid:10)Hill(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:2) Rue(cid:2) D(cid:2) Ruelle(cid:3)Statistical mechanics(cid:3) Benjamin(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:6)(cid:2) (cid:0) (cid:0) Sak(cid:2) Sakai(cid:3) C (cid:3)algebras and W (cid:3)algebras(cid:3) (cid:17)Ergebnisseder Math(cid:2)(cid:18) (cid:8)(cid:6)(cid:3) Springer(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:5)(cid:2) Sal(cid:2) N(cid:2) Salinas(cid:3) Review of a paper by J(cid:11)S(cid:11) Morrell et al(cid:11) (cid:13)Bull(cid:11) AMS (cid:5)(cid:6) (cid:13)(cid:8)(cid:17)(cid:18)(cid:19)(cid:14) (cid:17)(cid:20)(cid:18)(cid:3)(cid:17)(cid:20)(cid:17)(cid:14)(cid:3) MR (cid:3)(cid:9) (cid:3) (cid:0)(cid:3)(cid:7) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:7)(cid:9)(cid:2) Sch(cid:2) R(cid:2) Schatten(cid:3) Norm ideals of completely continuous operators(cid:3) Springer(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:16)(cid:2) Seg(cid:2) I(cid:2) Segal(cid:3)Irreduciblerepresentations of operator algebras(cid:3)Bull(cid:2)Amer(cid:2)Math(cid:2)Soc(cid:2)(cid:3)(cid:2) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:13)(cid:7)(cid:9)(cid:3) (cid:7)(cid:8)(cid:10)(cid:14)(cid:14)(cid:2) Se(cid:11)(cid:2) I(cid:2) Segal(cid:3) Postulates for general quantum mechanics(cid:3) Annals of Math(cid:2) (cid:9)(cid:5) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:13)(cid:7)(cid:9)(cid:3) (cid:6)(cid:8)(cid:16)(cid:10)(cid:6)(cid:13)(cid:14)(cid:2) ShS(cid:2) D(cid:2) Shaleand W(cid:2)F(cid:2) Stinespring(cid:3)States on the Cli(cid:4)ord algebra(cid:3)Ann(cid:2) Math(cid:2) (cid:5)(cid:6) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:13)(cid:9)(cid:3) (cid:8)(cid:12)(cid:15)(cid:10)(cid:8)(cid:14)(cid:5)(cid:2) Sim(cid:2) B(cid:2) Simon(cid:3) Trace ideals and their applications(cid:3) London Math(cid:2) Soc(cid:2) Lecture Notes (cid:2)(cid:3)(cid:3) Cambridge Univ(cid:2) Press(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:2) Sla(cid:2) J(cid:2)Slawny(cid:3)Representationsofcanonicalanticommutationrelations andimplementabilityofcanon(cid:3) ical transformations(cid:3) Commun(cid:2)Math(cid:2) Phys(cid:2) (cid:10)(cid:10) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:5)(cid:9)(cid:3) (cid:5)(cid:16)(cid:13)(cid:10)(cid:5)(cid:5)(cid:13)(cid:2) StZ(cid:2) S(cid:2) Stratila and L(cid:2) Zsid(cid:19)o(cid:3) Lectures on von Neumann algebras(cid:3) Ed(cid:2) Academiei and Abacus Press(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:2) Tit(cid:2) J(cid:2) Tits(cid:3) Free Subgroups in Linear Groups(cid:3) J(cid:2) of Algebra (cid:10)(cid:6) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:11)(cid:9)(cid:3) (cid:11)(cid:15)(cid:16)(cid:10)(cid:11)(cid:7)(cid:16)(cid:2) VDN(cid:2) D(cid:2)V(cid:2) Voiculescu(cid:3) K(cid:2)J(cid:2) Dykema and A(cid:2) Nica(cid:3) Free random variable(cid:3) CRM Monograph Series (cid:7)(cid:3) Amer(cid:2) Math(cid:2) Soc(cid:2)(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:6)(cid:8)(cid:2) Wal(cid:2) P(cid:2) Walters(cid:3) An introduction to ergodic theory(cid:3) (cid:17)Graduate Texts in Math(cid:2)(cid:18) (cid:4)(cid:0)(cid:3) Springer(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:11)(cid:2) Wig(cid:2) E(cid:2) Wigner(cid:3) Group theory(cid:3) AcademicPress(cid:3) (cid:5)(cid:6)(cid:15)(cid:6)(cid:2) Zim(cid:2) R(cid:2)J(cid:2) Zimmer(cid:3)Ergodic theory and semisimple groups(cid:3) Birkh(cid:23)auser(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:14)(cid:13)(cid:2) P(cid:2) de la Harpe and V(cid:2) Jones(cid:3) July (cid:4)(cid:5)(cid:5)(cid:6)(cid:2) CHAPTER (cid:2)(cid:3) BOUNDED OPERATORS ON HILBERT SPACES (cid:0)(cid:2)a(cid:2) Recall on Hilbert spaces In these notes(cid:3) will denote a complex Hilbert space(cid:2) The scalar product H (cid:0) (cid:2) h j i of two vectors (cid:0)(cid:3)(cid:2) is antilinear in (cid:0) and linear in (cid:2)(cid:4) The norm of (cid:0) is given by (cid:2) H (cid:2) H (cid:0) (cid:7) (cid:0) (cid:0) k k h j i p and we let (cid:8)(cid:4)(cid:9) (cid:7) (cid:0) (cid:0) (cid:4) H f (cid:2) H j k k (cid:3) g denote the closed unit ball in (cid:4) H For any subset S of (cid:3) the closed linear subspace H (cid:0) S (cid:7) (cid:2) (cid:0) (cid:2) (cid:7) (cid:10) for all (cid:0) S f (cid:2) H j h j i (cid:2) g (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) is the orthogonal of S(cid:4) Observe that S S(cid:3) and that S T S T for subsets (cid:4) (cid:0) (cid:0) (cid:5) (cid:6) (cid:4) S(cid:3)T of (cid:4) In case S is a linear subspace of (cid:3) then S (cid:7) S is the closure of S(cid:4) (cid:2) (cid:3) H H Though we assume that the reader has some knowledge about Hilbert spaces(cid:3) e(cid:2)g(cid:2) as (cid:2) (cid:3) in Chapters four and (cid:11)ve of (cid:12)Ru(cid:4)(cid:13)(cid:3) we shall recall (cid:8)without proof(cid:9) the following (cid:11)ve basic facts(cid:2) (cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:3) Cauchy(cid:4)Schwarz inequality(cid:3) One has (cid:0) (cid:2) (cid:0) (cid:2) jh j ij (cid:3) k k k k for all (cid:0)(cid:3)(cid:2) (cid:4) (cid:2) H (cid:2)(cid:3)(cid:5)(cid:3) Projections on convex subsets(cid:3) Let C be a non empty closed convex subset of and let (cid:0) (cid:4) There exists a unique vector (cid:0)C C such that H (cid:2) H (cid:2) (cid:0) (cid:0)C (cid:7) min (cid:0) (cid:2) (cid:4) k (cid:7) k (cid:2)(cid:2)Ck (cid:7) k If C is moreover a closed subspace (cid:2)meaning linear subspace(cid:3) of (cid:3) then the assignment H (cid:0) (cid:0)C is linear and one has (cid:8)(cid:9) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:7) (cid:0)C (cid:14) (cid:0) (cid:0)C (cid:4) k k k k k (cid:7) k Typeset by AMS(cid:2)TEX (cid:3) (cid:4) (cid:3)(cid:5) BOUNDED OPERATORS (cid:2)(cid:3)(cid:6)(cid:3) Riesz representation theorem(cid:3) Let (cid:5) (cid:15) C be a continuous linear functional(cid:4) H (cid:9) Then there exists a unique vector (cid:0) such that (cid:2) H (cid:5)(cid:8)(cid:2)(cid:9) (cid:7) (cid:0) (cid:2) h j i for all (cid:2) (cid:16) moreover (cid:0) (cid:7) sup (cid:5)(cid:8)(cid:2)(cid:9) (cid:15) (cid:2) (cid:8)(cid:4)(cid:9) (cid:4) (cid:2) H k k fj j (cid:2) H g This result is due independently to F(cid:2) Riesz (cid:8)C(cid:2)R(cid:2) Acad(cid:2) Sc(cid:2) Paris(cid:3) (cid:2)(cid:7)(cid:7) (cid:8)(cid:4)(cid:5)(cid:10)(cid:17)(cid:9) (cid:4)(cid:18)(cid:10)(cid:5)(cid:19) (cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:4)(cid:9) and M(cid:2) Fr(cid:20)echet (cid:8)Ibid(cid:2)(cid:3) (cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:18)(cid:19)(cid:4)(cid:18)(cid:4)(cid:21)(cid:9)(cid:2) (cid:3) (cid:2)(cid:3)(cid:7) Bounded (cid:7) continuous for linear mappings(cid:3) Let (cid:3) be twoHilbertspacesand (cid:3) H H let a (cid:15) be a linear mapping(cid:4) Then the three following conditions are equivalent(cid:5) H (cid:9) H (cid:2)i(cid:3) the quantity a (cid:7) sup a(cid:0) (cid:0) (cid:8)(cid:4)(cid:9) is bounded(cid:6) k k fk k j (cid:2) H g (cid:2)ii(cid:3) a is continuous(cid:6) (cid:2)iii(cid:3) a is continous at one point of (cid:4) H If a ful(cid:11)lls conditions (cid:8)i(cid:9) to (cid:8)iii(cid:9) above(cid:3) then a is a bounded linear operator from to (cid:3) H and a is its norm(cid:2) The set of all such bounded linear operators(cid:3) furnished with the H k k norm a a (cid:3) is a Banach space denoted by (cid:8)(cid:9) k k (cid:3) (cid:8) (cid:3) (cid:9)(cid:4) B H H (cid:3)(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)(cid:3) Let be a third Hilbert space(cid:3) let a (cid:8) (cid:3) (cid:9) and let b (cid:8) (cid:3) (cid:9)(cid:4) It follows H (cid:2) B H H (cid:3)(cid:3) (cid:2) B H H straightforwardly from the de(cid:11)nitions that ba (cid:8) (cid:3) (cid:9) and that (cid:2) B H H ba b a (cid:4) k k (cid:3) k kk k One writes (cid:8) (cid:9) instead of (cid:8) (cid:3) (cid:9)(cid:4) The norm a a makes (cid:8) (cid:9) a Banach algebra B H B H H (cid:8)(cid:9) k k B H which has a unit(cid:3) namely the identity operator of written idH or simply (cid:4)(cid:4) (cid:8)A normed H algebra is a complex algebra A given together with a norm a a such that ab (cid:8)(cid:9) k k k k (cid:3) a b for all a(cid:3)b A(cid:4) A Banach algebra is a normed algebra which is complete(cid:2)(cid:9) k kk k (cid:2) (cid:3) (cid:3) (cid:2)(cid:3)(cid:8) Open mapping Theorem(cid:3) Let (cid:3) be two Hilbert spaces and let a (cid:15) be H H H (cid:9) H a bounded linear operator which is onto(cid:4) Then a is open(cid:6) so that in particular there exists a number (cid:6) (cid:7) (cid:10) such that (cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:8) (cid:6) a(cid:8) (cid:0) (cid:0) (cid:8) (cid:4) (cid:9)(cid:4) f (cid:2) H j k k g (cid:5) f (cid:2) H j k k g (cid:2)(cid:3)(cid:9)(cid:3) Remarks(cid:3) The three (cid:11)rst facts recalled above belong really to Hilbert space theory(cid:2) On the other hand(cid:3) (cid:4)(cid:2)(cid:18) and (cid:4)(cid:2)(cid:6) hold in much more general settings (cid:15) see e(cid:2)g(cid:2) Theorems (cid:4)(cid:2)(cid:22)(cid:23) and (cid:23)(cid:2)(cid:4)(cid:4) in (cid:12)Ru(cid:23)(cid:13)(cid:2) On several occasions(cid:3) we will use other standard results of functional analysis(cid:3) such as the analytic form of the Hahn(cid:19)Banach theorem(cid:3) on extensions of linear forms (cid:8)see e(cid:2)g(cid:2) (cid:23)(cid:2)(cid:4)(cid:21) and (cid:21)(cid:2)(cid:5)(cid:9)(cid:3) the geometric form of the Hahn(cid:19)Banach theorem(cid:3) on separating convex sets (cid:8)(cid:23)(cid:2)(cid:4)(cid:21)(cid:9)(cid:3) the Banach(cid:19)Steinhaus theorem (cid:3) on uniform boundedness (cid:8)(cid:23)(cid:2)(cid:4)(cid:5)(cid:9)(cid:3) the Krein(cid:19)Milman theorem(cid:3) on extreme points of convex sets (cid:8)(cid:21)(cid:2)(cid:4)(cid:18)(cid:9)(cid:2) (cid:3)(cid:5) BOUNDED OPERATORS (cid:6) (cid:2)(cid:3)(cid:10)(cid:3) Notations(cid:3) Among standard examples of Hilbert spaces(cid:3) there is the space Cn with its canonical scalar product n (cid:8)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:3)(cid:2)n(cid:9) (cid:8)(cid:0)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:3)(cid:0)n(cid:9) (cid:7) (cid:2)j(cid:0)j(cid:3) h j i j(cid:3)(cid:2) X the space of square(cid:19)summable sequences indexed by N (cid:5) (cid:0) (cid:0) (cid:9) (cid:7) (cid:0) (cid:7) (cid:8)(cid:0)n(cid:9)n(cid:4)(cid:4) (cid:0)n C and (cid:0)n (cid:8) (cid:2) j j (cid:10) (cid:4) (cid:5) n(cid:3)(cid:4) (cid:6) (cid:5) X (cid:5) and the space of square(cid:19)summable meas(cid:5)urable functions on a measure space (cid:8)X(cid:3)(cid:10)(cid:9) (cid:0) (cid:0) L (cid:8)X(cid:3)(cid:10)(cid:9) (cid:7) (cid:0) (cid:15) X C (cid:0)(cid:8)x(cid:9) d(cid:10)(cid:8)x(cid:9) (cid:8) (cid:9) X j j (cid:10) (cid:7) (cid:5) Z (cid:8) (cid:5) where (cid:0) is (cid:8)abusively (cid:24)(cid:9) identi(cid:11)ed to its equiv(cid:5)alence class modulo the relation of equality (cid:10)(cid:19)almost everywhere(cid:16) in case the choice of (cid:10) is clear (cid:8)for example the Lebesgue measure on a measurable subset of Rn(cid:9)(cid:3) one writes simply L(cid:0)(cid:8)X(cid:9)(cid:4) (cid:2)(cid:3)(cid:11)(cid:3) Separability(cid:3) Most Hilbert spaces arising (cid:25)naturally(cid:26) in analysis are separable (cid:8)i(cid:2)e(cid:2) contain countable dense subsets(cid:3) or equivalently have countable orthonormal bases(cid:9)(cid:2) But there is for example a (cid:25)respectable(cid:26) non separable Hilbert space in the theory of almost periodic functions(cid:3) of which we recall the following(cid:2) Let (cid:8)R(cid:9) denote the algebra of all continuous functions from R to C (cid:8)for the pointwise C product(cid:9)(cid:2) Let f (cid:8)R(cid:9)(cid:4) For (cid:11) (cid:7) (cid:10)(cid:3) a number t R is called an (cid:11)(cid:3)almost period if (cid:2) C (cid:2) supx(cid:2)R f(cid:8)x (cid:14)t(cid:9) f(cid:8)x(cid:9) (cid:8) (cid:11)(cid:4) Say that f (cid:8)R(cid:9) is almost periodic if(cid:3) for any (cid:11) (cid:7) (cid:10)(cid:3) there j (cid:7) j (cid:2) C exists (cid:9) (cid:7) (cid:9)(cid:8)f(cid:3)(cid:11)(cid:9) such that any real interval of length (cid:9) contains an (cid:11)(cid:19)almost period of f(cid:4) One shows that almost periodic functions are bounded(cid:3) that they constitute a subalgebra AP(cid:8)R(cid:9) of (cid:8)R(cid:9)(cid:3) and that the limit C T (cid:4) f g (cid:7) lim f(cid:8)x(cid:9)g(cid:8)x(cid:9)dx h j i T(cid:6)(cid:5) T (cid:4) Z exists for all f(cid:3)g AP(cid:8)R(cid:9)(cid:4) The space obtained by completion of AP(cid:8)R(cid:9) with respect to (cid:2) this scalar product is a Hilbert space in which i(cid:3)t t e (cid:3)(cid:2)R (cid:8)(cid:9) (cid:2) (cid:3) is an uncountable orthonormal basis(cid:2) More on this in (cid:12)Fav(cid:13) and in Section VI(cid:2)(cid:6) of (cid:12)Kat(cid:13)(cid:2) Another motivation for introducing non separable Hilbert spaces comes from the study of the Calkin algebra and is alluded to in Remark (cid:21)(cid:2)(cid:5)(cid:2) (cid:7) (cid:3)(cid:5) BOUNDED OPERATORS (cid:0)(cid:2)b(cid:2) Adjoints and norms of operators(cid:2) (cid:3) (cid:3) Let (cid:3) be two Hilbert spaces and let a (cid:15) be a bounded linear operator(cid:2) H H H (cid:9) H (cid:7) (cid:3) (cid:2)(cid:3)(cid:12)(cid:3) Proposition(cid:3) There exists a unique bounded linear operator a (cid:15) such that H (cid:9) H (cid:7) a (cid:2) (cid:0) (cid:7) (cid:2) a(cid:0) h j i h j i (cid:3) for all (cid:0) and (cid:2) (cid:4) (cid:2) H (cid:2) H (cid:3) Proof(cid:2) For each (cid:2) (cid:3) one has a continuous linear form (cid:2) H C H (cid:9) (cid:0) (cid:2) a(cid:0) (cid:7) (cid:8)(cid:9)h j i and thus by Riesz theorem a unique vector (cid:12) such that (cid:2) H (cid:12) (cid:0) (cid:7) (cid:2) a(cid:0) h j i h j i (cid:7) (cid:7) for all (cid:0) (cid:4) If a is de(cid:11)ned to be the assignment (cid:2) (cid:12)(cid:3) it is easy to check that a is (cid:2) H (cid:0) (cid:8)(cid:9) linear and bounded(cid:2) (cid:7) (cid:3) (cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:13)(cid:3) De(cid:14)nition(cid:3) The operator a (cid:8) (cid:3) (cid:9) is the adjoint of a(cid:4) (cid:7) (cid:7) (cid:2) B H H (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:3) One has obviously (cid:8)a (cid:9) (cid:7) a as well as (cid:8)(cid:13)a (cid:14)(cid:10)b(cid:9) (cid:7) (cid:13)a (cid:14)(cid:10)b for all a(cid:3)b (cid:8) (cid:3) (cid:9) (cid:2) B H H and (cid:13)(cid:3)(cid:10) C(cid:4) (cid:2) (cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:3) Proposition(cid:3) One has (cid:3) (cid:7) a (cid:7) sup (cid:2) a(cid:0) (cid:15) (cid:0) (cid:8)(cid:4)(cid:9) (cid:3)(cid:2) (cid:8)(cid:4)(cid:9) (cid:7) a k k f jh j ij (cid:2) H (cid:2) H g k k (cid:3) for all a (cid:8) (cid:3) (cid:9)(cid:4) (cid:2) B H H Proof(cid:2) By the Cauchy(cid:19)Schwarz inequality and by the de(cid:11)nition of a (cid:3) one has k k (cid:2) a(cid:0) (cid:2) a(cid:0) (cid:2) a (cid:0) jh j ij (cid:3) k k k k (cid:3) k k k k k k (cid:3) for all (cid:0) and (cid:2) (cid:3) so that (cid:2) H (cid:2) H (cid:3) a sup (cid:2) a(cid:0) (cid:15) (cid:0) (cid:8)(cid:4)(cid:9) (cid:3)(cid:2) (cid:8)(cid:4)(cid:9) (cid:4) k k (cid:11) f jh j ij (cid:2) H (cid:2) H g Fortheoppositeinequality(cid:3)wemayassumea (cid:7) (cid:10)andwechoose(cid:11) (cid:7) (cid:10)suchthat(cid:11) (cid:8) a (cid:14)(cid:23)(cid:4) (cid:12) (cid:3) k k Choose then (cid:0) (cid:8)(cid:4)(cid:9) such that a(cid:0) a (cid:11) and set (cid:2) (cid:7) a(cid:0)(cid:14) a(cid:0) (cid:8)(cid:4)(cid:9)(cid:4) Then (cid:2) H k k (cid:11) k k (cid:7) k k (cid:2) H (cid:2) a(cid:0) (cid:7) a(cid:0) a (cid:11)(cid:4) Hence jh j ij k k (cid:11) k k(cid:7) (cid:3) sup (cid:2) a(cid:0) (cid:15) (cid:0) (cid:8)(cid:4)(cid:9) (cid:3)(cid:2) (cid:8)(cid:4)(cid:9) a (cid:4) f jh j ij (cid:2) H (cid:2) H g (cid:11) k k As (cid:2) a(cid:0) (cid:7) (cid:0) a(cid:7)(cid:2) for all (cid:0) and (cid:2) (cid:3)(cid:3) the last equality follows(cid:2) (cid:0) jh j ij jh j ij (cid:2) H (cid:2) H (cid:3)(cid:5) BOUNDED OPERATORS (cid:8) (cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:5)(cid:3) Corollary(cid:3) One has (cid:7) (cid:0) a a (cid:7) a k k k k (cid:3) for all a (cid:8) (cid:3) (cid:9)(cid:4) (cid:2) B H H Proof(cid:2) One has (cid:7) (cid:7) (cid:0) a a a a (cid:7) a k k (cid:3) k k k k k k and (cid:0) (cid:7) (cid:7) a (cid:7) sup a(cid:0) a(cid:0) (cid:7) sup (cid:0) a a(cid:0) a a k k (cid:4)(cid:2)H(cid:5)(cid:2)(cid:6)h j i (cid:4)(cid:2)H(cid:5)(cid:2)(cid:6)h j i (cid:3) k k so that a(cid:7)a (cid:7) a (cid:0)(cid:4) (cid:0) k k k k (cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:6)(cid:3) Remark(cid:3) Let A denote an involutive algebra(cid:3) namely a complex algebra A given A A together with an involution (cid:9) (cid:7) such that a a (cid:7) (cid:8)(cid:9) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:8)a(cid:14)b(cid:9) (cid:7) a (cid:14)b (cid:7) (cid:7) (cid:8)(cid:13)a(cid:9) (cid:7) (cid:13)a (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:8)ab(cid:9) (cid:7) b a (cid:7) (cid:7) (cid:8)a (cid:9) (cid:7) a for all a(cid:3)b A and (cid:13)(cid:3)(cid:10) C(cid:4) (cid:2) (cid:2) Let a a be a norm on A such that ab a b for all a A(cid:4) Then the equality (cid:8)(cid:9) k k k k (cid:3) k kk k (cid:2) (cid:7) (cid:0) a a (cid:7) a k k k k (cid:7) for all a A implies the equality a (cid:7) a for all a A(cid:4) Indeed(cid:3) assuming the (cid:11)rst of (cid:2) k k k k (cid:2) these(cid:3) one has (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:0) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:8) (cid:7) a (cid:7) aa (cid:7) aa aa a a a a a a k k k k k k (cid:3) k k k k k k (cid:3) k k k k (cid:7) (cid:8) (cid:8) (cid:8) (cid:7) (cid:8) so that a a for all a A(cid:4) Similarly a a (cid:4) k k (cid:3) k k (cid:2) k k (cid:3) k (cid:7)k An involutive algebra A with a norm satisfying a (cid:7) a for all a A is called k k k k (cid:2) a normed involutive algebra(cid:4) and a Banach involutive algebra if it is moreover complete(cid:2) (cid:7) In Chapter (cid:18)(cid:3) we will de(cid:11)ne abstract C (cid:3)algebras(cid:5) they are Banach involutive algebras satisfying a(cid:7)a (cid:7) a (cid:0)(cid:4) Group algebras such as (cid:9)(cid:2)(cid:8)Z(cid:9) and L(cid:2)(cid:8)R(cid:9) provide examples of k k k k (cid:7) o Banach involutive algebras which are not C (cid:19)algebras (cid:8)see n (cid:18)(cid:2)(cid:5)(cid:9)(cid:2) A (cid:3)representation of an involutive algebra A on a Hilbert space is a linear map (cid:13) (cid:7) (cid:7) H (cid:27) (cid:15) A (cid:8) (cid:9) such that (cid:27)(cid:8)ab(cid:9) (cid:7) (cid:27)(cid:8)a(cid:9)(cid:27)(cid:8)b(cid:9) and (cid:27)(cid:8)a (cid:9) (cid:7) (cid:27)(cid:8)a(cid:9) for all a(cid:3)b A(cid:4) (cid:9) B H (cid:2) (cid:3) (cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:7)(cid:3) Norm of (cid:14)nite dimensional operators(cid:3) Consider an operator a (cid:8) (cid:3) (cid:9) (cid:2) B H H and assume that the space is (cid:11)nite dimensional(cid:2) Let (cid:10)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:3)(cid:10)n denote the eigenvalues of (cid:7) H a a (cid:8) (cid:9)(cid:4) Then (cid:2) B H a (cid:7) max (cid:10)j(cid:4) k k (cid:2)(cid:8)j(cid:8)n q