Allgemeine Relativitätstheorie und relativistische Astrophysik

426 Pages·1981·17.3 MB·German

by  Norbert Straumann (auth.)

Lecture Notes in Physics
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Edited by H. V. von Geramb. XI, 481 pages.1979. pages. 1980.
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H. Cabannes, M. Holt and V. Rusanov. VIII, 620 pages.1979. pages.1980.
Lecture Notes
in Physics
Edited by J. Ehlers, München, K. Hepp, Zürich
R. Kippenhahn, München, H. A. Weidenmüller, Heidelberg
and J. Zittartz, Köln
Managing Editor: W. Beiglböck, Heidelberg
150
Norbert Straumann
Allgemeine Relativitätstheorie
und relativistische Astrophysik
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg GmbH 1981
Autor
Norbert Straumann
Institut für Theoretische Physik der Universität Zürich
Schönberggasse 9, eH-BOOl Zürich
ISBN 978-3-540-11182-5 ISBN 978-3-662-21573-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-21573-9
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part
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Wort", Munich.
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1981
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork 1981
2153/3140-543210
VOR W 0 R T
Im Sommer und Winter Ig7g hieit ich im Nachdiplom-Zyklus der ETH und
der Universität ZUrich, sowie im Rahmen des Troisi~me Cycle der West
schweizer-Universitäten in Lausanne Vorlesungen über allgemeine Relati
vitätstheorie und relativistische Astrophysik. Der vorliegende Band
enthält die fast unveränderten Notizen, die den Studierenden während
der Kurse verteilt wurden, um ihnen das Mitschreiben zu ersparen. Bei
deren Abfassung habe ich nicht an eine weitere Verbreitung gedacht.
Positive Reaktionen von verschiedener Seite, sowie eine Empfehlung von
J. Ehlers, haben dazu gefUhrt, dass das Vorlesungsskriptum in die Lec
ture Note Serie aufgenommen wurde. (Den kosmologischen Teil habe ich
allerdings weggelassen.)
In Respektierung von Sprachenminoritäten wurden die späteren Teile ur
sprUnglich auf englisch verfasst. Auf Wunsch von J. Ehlers habe ich die
se, allerdings mit beträchtlicher Verzögerung, mit einigen Aenderungen
ins Deutsche zurUckUbersetzt.
Ich hoffe, damit einen kleinen Beitrag dazu geleistet zu haben, dass
die allgemeine Relativitätstheorie auch im deutschen Sprachraum wieder
vermehrt gelernt und unterrichtet wird. Es ist doch ziemlich grotesk,
wenn ein ausgebildeter Physiker in der 2. Hälfte des 20. Jahrhunderts
von dieser grossartigen Theorie und deren faszinierenden Anwendungen
nicht mehr weiss als eine Katze vom Vaterunser.
J. Ehlers danke ich fUr eine Reihe von wertvollen Verbesserungsvor
schlägen. Meinen Mitarbeitern M. Camenzind, M. Schweizer und A. Wipf
bin ich fUr viele Diskussionen und ihre Hilfe beim Korrekturenlesen zu
grossem Dank verpflichtet. Danken möchte ich auch G. Wanders für die
Einladung, in Lausanne Vorlesungen zu halten. Mein Dank gilt ferner
Frau D. Deschger fUr ihre Mühe beim Tippen des Manuskripts und meiner
Frau Maria fUr ihre Geduld.
I N H ALT S V E ~ Z E ICH N I S
TEIL 1 DIFFERENTIALGEOMETRISCHE HILFSMITTEL DER ALLGEMEINEN 1
RELATIVITAETSTHEORIE
1. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 2
2. Tangentialvektoren, Vektor- und Tensorfelder 7
3. Die Liesche Ableitung 20
4. Differentialformen 26
5. Affine Zusammenhänge 50
TEIL 2: ALLGEMEINE RELATIVITAETSTHEORIE 81
KAPITEL I. DAS AEQUIVALENZPRINZIP 86
1. Charakteristische Eigenschaften der Gravitation 86
2. Spezielle Relativitätstheorie und Gravitation 91
3. Raum und Zeit als Lorentzsche Mannigfaltigkeit. 95
Mathematische Formulierung des Aequivalenzprinzips
4. Die physikalischen Gesetze in Anwesenheit von
Gravitationsfeldern 98
5. Der Newtonsche Grenzfall 105
6. Die Rotverschiebung in statischen Gravitationsfeldern 107
7. Das Fermatsche Prinzip für statische Gravitationsfelder 109
8. Geometrische Optik in Gravitationsfeldern 111
9. Statische und stationäre Felder 115
10. Lokale 8ezugssysteme und Fermi-Transport 124
KAPITEL 11. DIE EINSTEINSCHEN FELDGLEICHUNGEN 138
1. Die physikalische Bedeutung des Krümmungstensors 139
2. Oie Feldgleichungen der Gravitation 144
3. Lagrange Formulierung 153
4. Nichtlokalisierbarkeit der Gravitationsenergie 167
5. Der Tetraden Formalismus 169
6. Energie, Impuls unq Drehimpuls der Gravitation
für isolierte Systeme 179
7. Bemerkungen zum Cauchy-Problem 188
8. Die Charakteristiken der Einsteinschen Feldgleichungen 191
VI
KAPITEL 111. DIE SCHWARZSCHILD-LOESUNG UND DIE KLASSISCHEN TESTS DER
ALLGEMEINEN RELATIVITAETSTHEDRIE 194
1. Herleitung der Schwarzschild-Lösung 195
2. Bewegungsgleichungen im Schwarzschild-Feld 202
3. Periheldrehung eines Planeten 205
4. Die Lichtablenkung 208
5. Laufzeitverzögerung von Radar-Echos 214
6. Geodätische Präzession 218
7. Gravitationskollaps und schwarze Löcher (1. Teil) 222
Anhang. Sphärisch symmetrische Gravitationsfelder 246
KAPITEL IV. SCHWACHE GRAVITATIONSFELDER 254
1. Die linearisierte Gravitationstheorie 254
2. Fast Newtonsehe Gravitationsfelder 261
3. Gravitationswellen in der linearisierten Theorie 263
4. Das Gravitationsfeld in grossen Entfernungen
von den Quellen 272
5. Emission von Gravitationsstrahlung 280
KAPITEL V. DIE POST-NEWTDNSCHE NAEHERUNG 290
1. Die Feldgleichungen in der post-Newtons ehen Näherung 290
2. Asymptotische Felder 300
3. Die post-Newtonschen Potentiale für ein System
von Punktteilchen 304
4. Die Einstein-Infeld-Hoffman Gleichungen 308
5. Präzession eines Kreisels in der PN-Näherung 317
TEIL 3 : RELATIVISTISCHE ASTROPHYSIK 323
KAPITEL VI. NEUTRONENSTERNE 324
1. Abschätzungen und Grössenordnungen 326
2. Relativistische Sternstrukturgleichungen 332
3. Stabilität 338
4. Das Innere von Neutronensternen 341
5. Modelle für Neutronensterne 346
6. Schranken für die Masse von nichtrotierenden
Neutronensternen 349
7. Kühlung von Neutronensternen 358
VII
KAPITEL VII. ROTIERENDE SCHWARZE LDECHER 382
1. Analytische Form der Kerr-Newman Familie 383
2. Asymptotische Felder, g-Faktor des schwarzen Loches 384
3. Symmetrien von g. 386
4. Statische Grenze und stationäre Beobachter 387
5. Horizont, Ergo-Sphäre 388
6. Koordinatensingularität am Horizont, Kerr-Koordinaten 390
7. Singularität der Kerr-Newman Metrik 390
8. Struktur der Lichtkegel 391
9. Penrose-Mechanismus 392
10. Der 2. Hauptsatz der Physik der schwarzen Löcher 393
11. Bemerkungen zum realistischen Kollaps 396
KAPITEL VIII. BINAERE RDENTGENQUELLEN 398
1. Kurze Geschichte der Röntgenastronomie 398
2. Intermezzo: Zur Mechanik in Binärsystemen 399
3. Röntgenpulsare 402
4. Burster 405
5. Cygnus X-I, ein schwarzes Loch? 408
6. Evolution von binären Systemen 412
Literatur-Verzeichnis 415
TEIL 1 :
DIffERENTIALGEOMETRISCHE HILfSMITTEL
DER ALLGEMEINEN RELATIVITAETSTHEDRIE
In diesem rein mathematischen Teil stellen wir die wichtigsten diffe
rentialgeometrischen Hilfsmittel der ART zusammen.
Die folgende Darstellung entspricht einigermassen den heutigen Gebräu
chen im Mathematik-Unterricht (ich werde aber z.B. auf die Benutzung
von faserbündeln verzichten). Die moderne differentialgeometrische
Sprache und der intrinsische Kalkül auf Mannigfaltigkeiten haben sich
in den letzten Jahren auch bei den "allgemeinen Relativisten" durchge
setzt und beginnen in Lehrbücher über ART einzudringen. Dies hat ver
schiedene Vorteile. Dazu gehören:
(i) Es wird möglich, die mathematische Literatur zu lesen und even
tuell für physikalische fragestellungen nutzbar zu machen.
(ii) Die grundlegenden Begriffe, wie differenzierbare Mannigfaltig
keit, Tensorfelder, affiner Zusammenhang, etc., erhalten eine klare
(intrinsische) formulierung.
(iii) Physikalische Aussagen und Begriffsbildungen werden nicht durch
Abhängigkeiten der Koordinatenwahl verdunkelt. Zugleich wird die Rolle
der Koordinaten bei physikalischen Anwendungen geklärt. (Diese lassen
sich z.B. an intrinsische Symmetrien adaptieren.)
(iv) Auch für praktische Rechnungen ist beispielsweise der äussere
Kalkül für Differentialformen ein sehr kräftiges Hilfsmittel, welches
oft schneller zum Ziele führt als die älteren Methoden.
2
!tl.
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
Eine Mannigfaltigkeit ist ein tapa logischer Raum, der "lokal so aus
sieht" wie der 'R,"" mit der üblichen Topologie.
Definition 1: Eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit Mist
ein tapa logischer Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis der Topologie,
der lokal homöomorph zum ~"" ist. Die letzte Bedingung bedeutet, dass
es zu jedem Punkt PE H eine offene Umgebung '\J von \- und einen
Homöomorphismus
~: U ---- V'
,
"-
mi t einer offenen Menge "\Je R gibt.
Nur nebenbei erwähnen wir, dass eine topologische Mannigfaltigkeit M
auch die folgenden topalogischen Eigenschaften hat:
(i) Mist <:!ö"- kompakt
(ii) Mist parakompakt und die Zahl der Zusammenhangskompo
nenten ist höchstens abzählbar.
Die Eigenschaft (ii) ist vor allem für die Integrationstheorie wichtig.
(Für einen Beweis siehe z.B. [2), Kap. 11, ~ 15.)
Definition 2: eine tapa logische Mannigfaltigkeit und h~~1J I
ein Homöomorphismus einer offenen Teilmenge l.1c::. M mit der offenen Teil
Uc
menge 11<:"', so heisst h eine ~ von M, und U das zugehörige
Kartengebiet. Eine Menge von Karten .(.hK\~E.l: '\ mit Gebieten '\..tc heisst
~ von M, wenn l..Lc~" tr0l- M. ZU zwei Karten k.c/~~ sind auf dem
Durchschni tt ihrer Gebiete U.,,,,:-1.t" V" beide Homöomorphismen h"~La,,,
definiert, und man erhält daher einen Kartenwechsel ~ als Homöomor-
R\. c. 111'-
phismus zwischen offenen Mengen des durch das kommutative Diagramm:
1JlIlf
y~
"tJ~ ~~"' ~r-l\trJ 1J~
.::> "'01("\.-L("" ) .. c
also I'\ t,.-=VL\p .c L"'Ä-A ,wo letztere Abbildung definiert ist. [Zeichne
eine Figur.) Gelegentlich ist es günstig, auch das Definitionsgebiet
einer Abbildung, insbesondere einer Karte, mitzunotieren; wir schrei
ben dann (k)11) für die Abbildung \., ~ V _ V~