Algèbre Locale Multiplicités: Cours au Collège de France, 1957–1958 rédigé par Pierre Gabriel

169 Pages·1975·6.64 MB·French

by  Jean-Pierre Serre (auth.)

Lecture Notes in
Mathematics
Edited by A Dold and B. Eckmann
11
Jean-Pierre Serre
Algebre Locale
Multiplicites
Cours au College de France, 1957-1958
redige par Pierre Gabriel
Troisieme edition
IJ
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg NewYork London Paris Tokyo
Author
Jean-PierreSerre
CollegedeFrance
Chaired'AlgebraatGeometrie
11,placeMarcelinBerthelot
F-75231 ParisCedex05
3rdEdition 1975
2ndCorrectedPrinting 1997
MathematicsSubjectClassifications(1970): 13'()2. 13C15,13005,13H05.
13H10, 13H15, 14015
ISBN3-540'()7028-1 Springer..llerlagBerlinHeidelbergNewYork
ISBN0·387·07028-1 Springer-VerlagNewYorkBerlinHeidelberg
libraryofCongressCataloginginPublicationDllta
Serre,Jean-Pierre.
Algebrelocale,multiplicit's.
(Lecturenotesinmathematics;11)
Bibliography:p.
1.Geometry,Algebraic.2.Rings(Algebra)
3.Modules(Algebra)I.Title.II.SeriK:
Lecturenotesinmathematics(Berlin); 11.
QA3.L28no. 11,1975(QA564)510'.8s(516'.35175-359
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LawofSeptember9, 1965.initsversionofJune24.1985.andacopyrightfeemustalwaysbe
paid.ViolationsfallundertheproaecutionactoftheGermanCopyrightLaw.
CbySpringer-VerlagBerlinHeidelberg 1975
PrintedinGermany
Printingandbinding:PoZ.DruckundDalenlechnikGmbH,Kemplen
2146/3140-5432
SPIN11361473
PRtFACE DE LA SECONDE tDITION
Cette edition differe de la premiere par les points suivants:
Un certain nombre de passages ont ete recrits, notamment Ie § A
du chap. II, Ie chap. III, Ie § B du chap. IV, et Ie § C du chap. V.
Ont ete ajoutes: une Introduction, deux Appendices, et une Biblio
graphie.
Le travail de dactylographie a ete fait par les soins de l'Institut
des Hautes Etudes Scientifiques. Je lui en suis tres reconnaissant.
PRtFACE DE LA TROISltME tDITION
Cette edition differe de la precidente par:
a) la correction d'erreurs typographiques,
b) 1a suppression du chap. I, remp1aci par un bref resume, avec
renvois i l'Algebre Commutative de Bourbaki.
Jean-Pierre Serre
'WILE DES HATIiDs
Introduction
Chapitre I. 1DIAUX PIlEMIEIS IT LOCALISATION
I. Wotationa et definitions I
2. Lemme de Bakay.... I
3. Localisation • • • 2
4. Anneaux et 80dules noethiriens 2
5. Spectre•••••• 3
6. Le cas noetherien. 4
7. Ideaux pre.iers associe. 4
Chapitre 11. OUTILS IT SOUTES
A) Filtr·ations et graduations. 8
I. Anneaux et modules filtres • 8
2. Topologie definie par UDe filtration 9
3. Coapletion des modules filtres • • • 10
4. Anneaux et modules graduis • • • • • II
5. au tout redevient noethirien; filtrations ~-adiques. 15
6. Modules differentiels filtres•••••••••••• 20
B) Polynoaes de Hilbert-SamueL ••••••••••• 26
I. Rappel sur les polynOmes Ii valeurs entieres•••• 26
2. Fonctions additives sur les categories de modules. 27
3. Le polynOme caractiristique de Hilbert 29
4. Les invariants de Hilbert-Samuel 32
Chapitre 111. T1I£ORlE DE LA DDlE!ISION
A) Dimension des extensions. entieres. 38
I. Definitions. • • • • • • • • • • • • 38
2. Le premier theore- de Cohen-Seidenberg. 39
3. Le second theoreme de Cohen-Seidenberg • 4I
B) Dimension dans les anneaux noetheriens. 43
I. Dimension d'un module. • • • 43
2. Le cas semi-local noetherien 44
3. Syste.es de parametres 47
C) Anneaux normaux 48
I. caracterisation des anneaux normaux. 48
2. Proprietes des anneaux noraaux 51
3. Fermeture integrale. 53
D) Anneaux de polynomes. • • • • • 54
xnJ
I. Dimension de l'anneau A[xl••••• 54
2. Le 1_ de normalisation. • • • • 57
3. Applications. I. Dimension dans les algebres de polyno-s. 59
4. Applications. 11. Fermeture integrale d'une algebre de type fini 62
5. Applications. III. Dimension d'une intersection dans l'espace affine 64
Chapitre IV. DDlE!ISIOR ET CODDlE!ISIOR BOK>LOGIQUES
A) Le complexe de l'algebre extirieure (Koszul) ••••••• 67
,. Le cas simple. • • • • • • • • • • • • • . • " ••••••• 67
2. Acyclicite et proprietes fonctorielles du complexe de l'alg8hre
exterieure •.• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • 69
3. La suite spectrale associee au complexe de l'alg8hre exterieure. 74
4. La cod_naion ha.>logique d'un ..odule sur un anneau semi-local. 78
VI
B) Modules de Coben-Macau1ay ••••••••••••••• 83
I. Difinition des _du1es de Coben-Macaulay • • • • • • • • 83
2. Diverses caracterisations des modules de Coben-Macau1ay. 85
3. Variete d'un module de Cohen-Macau1ay. • • • • • • 88
4. Ideaux preaiers et c~lition. • • • • • • • • • • 91
C) Dimension boao1ogique des modules noetberien& 93
I. La diaenaion ~logiqued'un module 93
2. Le cas noetberien. • • 95
3. Le cas local • • • • • 99
D) Les anneaux regu1iers. 101
I. Proprietes et caracterisationa des aDDeaux locaux regu1iers. 101
2. Proprietes de per.anence des anneaux locaux rigu1iers. 106
3. De1oca1isation • • • • • 108
4. Un critere de norma1iti. 1\0
Appendice 1. R!SOLUTIOtlS MIRnw.ES. • 112
I. Definition des resolutions 8inima1es. 1\2
2. Application.••••••••••••• 114
3. Cas du cogp1exe de l'a1gibre exterieure. 116
Aependice II. POSITIVItt DES CAltACT2aISTIQUES D'EtlLD.-POIJICAR! SUP£J.I!URES. 119
Cbapitre V. LIS MULTIPLICIttS
A) La mu1tiplicite d'un module. • 124
I. Le groupe des cyc1es d'un aDDeau 124
2. La mu1tip1iciti d'un _du1e. • • 125
B) La mu1tip1icite d'intersection de deux modules. 127
I. La reduction i 1a diagona1e. • • • • • • • 127
2. Produita tensorie1s completes. • • • • • • 129
3. Anneaux riguliers d'egale clracteristique. 135
4. Conjectures. • • • • • • • • • • • • • • • 137
5. Anneaux riguliers d'inell1e caracteristique (cas non ra-1fie) 138
6. Anneaux regu1iers que1conques. • • • • • 141
C) Raccord avec la giometrie algebrique. • • 144
I. Formule des Tor. • • • • • • • • • • • • • • 144
2. Cycles sur une variete affine non singu1iere 145
3. Preaieres formules • • • • • • 146
4. Demonstration du tbeore- I. . 149
5. Rationalite des intersections. 149
6. Images directes. • • • • 150
7. Images reciproques • • • 151
8. Extensions de la tbeorie des intersections 154
Bibliographie •••••••••••••••••••••••••••••••••• 157
INTRODUCTION
Les multiplicites d'intersectionsde la geometrie
a
algebrique sont egales certaines "caracteristiques d'Euler-
Poincare" formees au moyen des foncteurs Tor de Cartan-
Eilenberg. Le but essentiel de ce cours est d'etablir ce
resultat, et de l'appliquer a la demonstration des formules
fondamentales de la theorie des intersections.
11 a fallu d'abord rappeler quelques resultats
d'algebre locale : decomposition primaire, theoremes de Cohen-
Seidenberg, normalisation des anneaux de polynomes, dimension
lau sens de Krull), polynomes caracteristiques (au sens de
Hilbert-Samuel).
L'homologie apparatt ensuite, lorsque 'l'on considere
l~ multiplicite e lE,r) d'un ideal de definition
9-
d'un anneau local noetherien A par
a
rapport un A-module E de type fini. Cette multiplicite
est definie comme le coefficient de dans le poly-
nOme caracteristique [on note la
FJ
longueur d'un A-module • On demontre alors la formule
suivante, qui joue un role essentiel dans la suite:
iL=r (-l)i~(Hi(E,!)
i=O
ou les designent les modules d'homologie du
complexe de l'algebre exterieure construit sur E au
moyen des x.
1.
Ce complexe peut d'ailleurs etre utilise dans d'autr~
questions d'algebre locale, par exemple pour etudier la codi-
mension homologique des modules sur un anneau local, les
modules de Cohen-Hacaulay (ceux dont la dimension de Krull
VIII
coIncide avec la codimension homologique), et aussi pour
montrer que les anneaux locaux reguliers sont les seuls anneaux
locaux dont la dimension homologique soit finie.
Une fois la formule \*) demontree, on peut aborder
l'etude des caracteristiques d'Euler-poincare formees au moyen
des Tor. Lorsque l'on traduit dans Ie langage <Ie l'alet:bre
locale la situation ~eometrique des intersections, on obtient
un anneau local rerrulier A, de dimension n, et deux A-
"odules E at F de type fini sur A , dont Ie produit
tensoriel est de longueur finie sur A \cela sip,nifie que
les varietes correspondant a E et F ne se coupent qu'au
a
point considere). On est alors conduit conJecturer les enon-
ces suivants :
i) On a dim.(E) + dim. IF), n l"formule des dimensions"l
ii) L'entier XA(E,F)
iii) On a ~A(~,F): 0 si et seulement si l'inegalite i)
est stricte.
La formule \*) montra que ces enonces sont en tout
cas vrais si avec dim (F) ; n - r .
Grice a un procede, utilisant des produits tensoriels comp16-
a
tes, et qui est l'~laloeue algebrique de la "reduction la
diagonale", on paut en deduira qu'ils sont vrais lorsque A
a meme caractcristiqua qua son corps des restes, ou bien
quand A est non ramifie. A partir de la, on peut, en se
servant des theoremes de structure des anneaux locaux complet~
demontrer la formule des dimensions i) dans Ie cas Ie plus
general. Par contre, .ie ne suis parvenu, ni a demontrer ii)
et iii) sans faire d'hypotheses sur A , ni a en donner
IX
des contre-exemples. 11 semble qu'il faille aborder la ques
tion sous un angle different, par exemple en definissant di
recte••nt (par un proc'd' aS7SptoUque convenable) un entier ~ 0
dont on montrerait ensuite qu'il est egal a YA(E,F)
Ifeureusement, le cas d'egale caracteristique est
suffisant pour les applications a la geometrie algebrique tet
aussi a 18 geometrie analytique). De fa~on precise, soit X
une variete non singuliere, soient V et 101 deux sous-
varietes irreductibles de X , et supposons que c =V()W
soit une sous-variate irreductible de x , avec
dim. X + dim. C dim. V + dim. W (intersection "propre").
x,
Soient les anneaux locaux de V et Wen C.
Si i(V.V,C;X) designe la multiplicite d'intersection de
V at '" en C lau sens de Weil, Chevalley, Samuel), on a
la formule I
i(V.W,C;X)
Cette fo~le tla "formule des Tor") se demontre
a a
par reduction la diagonale, en se ramenant (*). En fait,
il est commode de prendre l**) comme definition des multi-
plicites. Les proprietes de celles-ci s'obtiennent alors de
fa~on naturelle I la commutativite resulte de celle des Tor
l'associativite resulte des deux suites spectrales qui expri
mant l'aseociativite des Tor; la formule de projection re-
sulte des deux suites spectrales reliant les images directes
d'un faisceau coherent et les Tor (ces dernieres suites spec-
trales ont d'autres applications interessantes, m&is il n'en
a pas ete question dans le cours). Chaque fois, on utilise le
fait bien connu que les caracteristiques d'Euler-Poincare
restent constantes dans une suite spectrale.
x
Lorsque l'on d,H"init les intersections au moyen de
la :formule des Tor, on est conduit a etendre la theorie au
dela du cadre strictement "non singulier· de Veil et de
Chevalley. Par exemple, si :f I X~ Y est un morphisme
d'une variete X dans une variete non singuliere Y, on
a
peut :faire correspondre deux cycles x et y de X et de Y
un ·produittl X':fy qui correspond au point de vue ensem
a
bUste x{\,.-1(y) (bien entendu, ce produit n'est def'ini
que sous certaines conditions de dimensions). Lorsque :f est
l'application identique, on trouve le produit ordinaire. Les
:formules de commutativite, d'associativite, de projection,
peuvent s'enoncer .t se demontrer pour ce nouveau produit.
I-I
CHAPITRE I - IoEAOX PREMIERS ET LOCALISATION
Ce chapitre resume un certain nombre de resultats dont on trouvera
des delllonstrations dans l··Alc;r~b·re ·Com'llutative de Bourbaki, chap.I
~ IV.
1. Notations et definitions
a
On note A un anneau cO'll'llutatif, element unite. Tous les
A-modules sont supposes unitaires.
Un ideal ~ de A est dit premier si A/~ est integre, i.e.
peut ~tre plonge dans un corpsl un tel ideal est distinct de Al
pour que (01 soit premier , il faut et il suffit que A soi~ integre.
On ideal m de A est dit maximal s'il est distinct de A, et
maximal parmi les ideaux ayant cette propriet'l il revient au meme
de dire que A/~ est un corps. On tel ideal est prelllier.
On anneau A est dit local s'il possede un ideal maximal ~ et un
---. " * ,
seul, on a alors A - ~ A ,ou A designe le groupe multiplicatif
des elements inversibles de A.
2. Lemme de Nakayama
Soit ~ le radical (de Jacobson) de A, i.e. l'intersection des
ideaux maximaux de AI on a x ~ r si et seulement si 1 - xy est
inversible pour tout yeA.
PROPOSITION 1 - Soient M un A-module de type fini, ~ q un ideal
de A contenu dans le radical E ~ A. Si 3,M • M, ~ M - O.
En effet, si M etait; 0 il possederait un quotient simple,
a
et celui-ci serait isomorphe All! ,OU ~ est un ideal maximal
de A,an aurait alors ~M ; M , contrairement au fait que 3, c: m.
COROLLAI.RE 1 - Si N est un sous-module de M tel que M· N + i.M,
on aM. N.
a
Cela r'sulte de la prop.l, appliquee MIN.
COROLLAIRE 2 - ~ A est un anneau local, ~ M ~ N sont deux
A-modules de type fini, ~
N • 0 ).
S.oient ~ l'ide.al maximal de A, et k le corps A/~. Posons
it M/~ et if N/~N . Si M -eA N est nul, il en est -de .~.e
de. Mek if cela entraine M 0 au N = 0 , d'ou M 0 au
N 0 , d'apres la prop.l.