Algèbre 1

135 Pages·2013·1.07 MB·German

Algèbre 1
Semestred’hiver2013/2014
UniversitéduLuxembourg
GaborWieseetAgnèsDavid
[email protected], [email protected]
Versiondu16décembre2013
Table des matières
Tabledesmatières 3
Préface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I Introductionauxmathématiquesàl’université 5
1 Lespreuvesetlespremiersmotsdulangagemathématique . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Etetouououetet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Del’existencepourtout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Indices,sommesetproduits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6 Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8 Applicationsetfonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9 Relationsbinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
II Systèmesdenombresetstructuresalgébriques 42
10 LesentiersnaturelsN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
11 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
12 Lesentiersrelatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
13 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
14 L’anneaudesentiersrelatifsrevisité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
15 Lesnombresrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
16 Sous-groupesethomomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
III Objetsdebasedel’algèbrelinéaireabstraite 81
17 Espacesvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
18 Sous-espacesvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
19 Basesetdimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
20 Homomorphismeslinéairesetmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
IV Débutsdelathéoriedesgroupes 99
21 Sous-groupesnormauxetquotientsdegroupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
22 Ordres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2
TABLEDESMATIÈRES 3
23 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Préface
L’algèbre,c’estquoi?Historiquement,onentendpar«algèbre»l’étudedeséquationspolynomiales.
Au cours des 2000 ans de cette étude, les gens se sont aperçus que certaines structures revenaient
très souvent, et de plus dans des contextes tout à fait différents! Depuis, les algébristes s’occupent
aussi de l’étude et du développement de ces structures, ainsi que, évidemment, de leurs applications
dansd’autresdomainesensciences,ingénierieetmathématiques.LecoursAlgèbre1seraconsacréà
uneintroductionauxstructuresalgébriquesfondamentales:lesgroupes,lesanneaux,lescorps,ainsi
qu’aux espaces vectoriels (d’un point de vue plus général que dans le cours d’algèbre linéaire). Ces
structures seront illustrées par des exemples et, parfois, des applications. Les règles et les méthodes
lesplusimportantesconcernantlesdémonstrationsmathématiquesserontenseignéesetpratiquées.
En Algèbre 2, nous approfondirons la théorie des anneaux et traiterons quelques compléments au
cours d’algèbre linéaire. En Algèbre 3, nous traiterons la théorie des corps. Le cours culminera au
quatrième semestre par la Théorie de Galois, qui nous permettra de démontrer la constructibilité ou
inconstructibilité à la règle et au compas de certains problèmes de l’Antiquité et l’impossibilité de
résoudrel’équationgénéralededegréaumoins5parradicaux.
Littérature
Pour le début, qui est sans doute la partie la plus difficile, je recommande les livres suivants qui
devraientêtredisponiblesdanslabibliothèqueauKirchberg.
– Schichl,Steinbauer:EinführungindasmathematischeArbeiten.
– Scharlau:SchulwissenMathematik:EinÜberblick,Vieweg,3rded.,2001.
– Cramer:VorkursMathematik:ArbeitsbuchzumStudienbeginninBachelor-Studiengängen,Sprin-
ger,2012.
– Fritzsche:MathematikfürEinsteigerSpektrum.
Voici quelques références : ces livres devraient également être disponibles dans la bibliothèque au
Kirchberg.
– Lelong-Ferrand, Arnaudiès : Cours de mathématiques, Tome 1, Algèbre. Dunod. Ce livre est très
completettrèsdétaillé.Onpeutl’utilisercommeouvragederéférence.
– SiegfriedBosch:Algebra(enallemand),Springer-Verlag.Celivreesttrèscompletetbienlisible.
– Serge Lang : Algebra (en anglais), Springer-Verlag. C’est comme une encyclopédie de l’algèbre;
onytrouvebeaucoupdesujetsrassemblés,écritsdefaçonconcise.
– SiegfriedBosch:LineareAlgebra,Springer-Verlag.
– JensCarstenJantzen,JoachimSchwermer:Algebra.
– ChristianKarpfinger,KurtMeyberg:Algebra:Gruppen-Ringe-Körper,SpektrumAkademischer
Verlag.
– GerdFischer:LehrbuchderAlgebra:MitlebendigenBeispielen,ausführlichenErläuterungenund
zahlreichenBildern,Vieweg+TeubnerVerlag.
– GerdFischer:LineareAlgebra:EineEinführungfürStudienanfänger,Vieweg+TeubnerVerlag.
4 TABLEDESMATIÈRES
– GerdFischer,FlorianQuiring:LernbuchLineareAlgebraundAnalytischeGeometrie:DasWich-
tigsteausführlichfürdasLehramts-undBachelorstudium,SpringerVieweg.
– Perrin:Coursd’algèbre,Ellipses.
– Guin,Hausberger:AlgèbreI.Groupes,corpsetthéoriedeGalois,EDPSciences.
– Fresnel:Algèbredesmatrices,Hermann.
– Tauvel:Algèbre.
– Combes:Algèbreetgéométrie.
– Godement:Coursd’algèbre.
Chapitre I
Introduction aux mathématiques à
l’université
1 Les preuves et les premiers mots du langage mathématique
Quelquesmotsaudébut–AllerAnfangistschwer...undleicht
Le début des études de mathématiques est (comme Schichl et Steinbauer l’écrivent dans Einführung
indasmathematischeArbeiten)
– trèsdifficile,dufaitdel’abstraction(définition,proposition,démonstration)etdel’utilisationd’un
langageparticulier,lelangagemathématique,
– facile,carunegrandepartiedessujetsadéjàététraitéeaulycée.
Les mathématiques à l’université sont caractérisées par la certitude absolue de leurs résultats. Il
ne suffit plus – comme souvent au lycée – d’expliquer un phénomème par beaucoup d’exemples ou
d’apprendre une technique de calcul; à l’université il s’agit de le démontrer, c’est-à-dire d’écrire
une démonstration (aussi appelée une preuve) qui, par une chaîne d’arguments faciles à suivre et
compréhensiblespourtous,nelaisseaucundoutesurlavéritéd’uneassertion.
Pour pouvoir dire qu’une assertion est vraie avec une certitude absolue, il faut que tous les mots qui
sontutilisésaientunesignificationtrèsprécisequiestlamêmepourtous.Parexemple,laphrase«La
maison est haute» a certainement une signification différente pour quelqu’un de New York et pour
quelqu’unvenantd’unpetitvillageenSibérie.
Lelangagemathématiquediffèredulangageduquotidienpar:
– saprécision,touttermeaunedéfinitionprécise;
– sonformalisme,souvent,onutilisedessymbolesetdesformules.
Ce cours d’algèbre commencera donc par des exemples de preuves et l’introduction du langage ma-
thématique.
Onvousconseillefortementdevousprocurerdeslivres(danslabibliothèquesursupportpapierou
danslesrépertoiresélectroniques):
– spécialisés pour le grand pas entre l’école et l’université (comme Schichl/Steinbauer : Einführung
indasmathematischeArbeiten);
– d’introductionàl’algèbreetàl’algèbrelinéaire.
5
6 CHAPITREI. INTRODUCTIONAUXMATHÉMATIQUESÀL’UNIVERSITÉ
Unmotd’explicationsur«l’algèbre»et«l’algèbrelinéaire»:àl’UniversitéduLuxembourgcesdeux
courssontenseignésaupremiersemestre,tandisqu’enFranceetenAllemagnelescoursd’algèbrene
commencentqu’endeuxièmeannéeetreposentsurlescoursd’algèbrelinéaire.Nesoyezpaschoqués
par ce fait (mais gardez-le à l’espritquand vous regardezdes livres – il vous faut aussides livres sur
l’algèbrelinéaire).Lecoursd’algèbrelinéaireàl’ULestencommunavecd’autresfilièresduBachelor
etlecoursd’algèbreestdestinéuniquementauxétudiantsenmathématiques.Encoursd’algèbre,nous
allons faire une grande partie de ce qui se fait habituellement dans les cours d’algèbre linéaire dans
d’autres pays, sauf que vous allez très bien vous entraîner aux calculs importants de matrices dans
votre cours d’algèbre linéaire; cela nous permettra d’aller un tout petit peu plus loin que l’algèbre
linéairedansnotrecours.
Définition,proposition,démonstration
Onutiliselesnotationssuivantes(connuesdel’écoles):
– N,lesentiersnaturels:0,1,2,3,... ;
– Z,lesentiersrelatifs:..., 3, 2, 1,0,1,2,3,... ;
− − −
– Q,lesnombresrationnels;
– R,lesnombresréels;
– C,lesnombrescomplexes.
On rappelle la notion de divisibilité dans les entiers relatifs. On dit qu’un entier relatif q = 0 divise
6
un entier relatif n (et que q est un diviseur de n) si le reste de la division de n par q est zéro, ou, dit
autrement,s’ilexisteunentierrelatifmtelquen = mq.
Enfait,lesphrasesprécédentessignifientquenousavonsdonnéunnom(«diviseur»)àunepropriété
mathématique. C’est un exemple de définition. Pour souligner le rôle essentiel des définitions en
mathématiques,nouslesformulonscommesuit.
Définition1.1. Soientn,q Z.
∈
Onditqueq estundiviseurdenetqueq divisens’ilexistem Ztelque
∈
n = mq.
Onutiliselesymboleq npoursignifierqueq divisen.
|
Définition1.2. Soitn Z.Onditquenestpairsi2divisen(ensymboles:2 n).
∈ |
Une définition n’est pas vraie ou fausse. C’est seulement un nom qu’on donne à une propriété pour
pouvoirmieuxl’utiliser.Maislesdéfinitionssontd’uneimportancefondamentalepourlesmathéma-
tiques parce qu’elles «définissent» les objets avec lesquels nous allons travailler, donc sur lesquels
nospropositionsvontporter.
Proposition1.3. Lecarréd’unnombrepairestpair.
Vocabulaire:
– Une proposition est une assertion qui est vraie avec une certitude absolue, c’est-à-dire qui a été
démontrée.
1. LESPREUVESETLESPREMIERSMOTSDULANGAGEMATHÉMATIQUE 7
– Unthéorèmeestunautremotpouruneassertionquiestvraieavecunecertitudeabsolue.Onutilise
habituellementlemot«théorème»pourlesassertionslesplusimportantes.
– Un lemme est encore un autre mot pour une assertion qui est vraie avec une certitude absolue.
Les lemmes ont souvent une fonction secondaire et auxiliaire; on les utilise pour démontrer des
propositionsoudesthéorèmes.
– Un corollaire est encore un autre mot pour désigner une assertion. On l’utilise pour des énoncés
qui se déduisent facilement d’un autre résultat, en général une proposition ou un théorème. Le
contenud’uncorollairepeutêtretrèsimportant,maissadémonstrationàpartirdelapropositionou
duthéorèmeinitialestrapide.
Démonstrationdelaproposition1.3. Soit n Z pair. D’après les définitions précédentes, cela veut
∈
direqu’ilexistem Ztelque
∈
n = 2m.
Celaimpliqueque
n2 = (2m)2 = 4m2.
Donc
n2 = 2 (2m2).
·
Alors,n2 estdivisiblepar2,doncpair.
Cettedémonstrationestlapremièredanscecours.Onvoitquec’estunesuited’arguments,etchaque
étape est facile à vérifier pour tous. Donc, on peut en effet dire que la proposition est vraie avec une
certitudeabsolue.
Cette preuve est un exemple d’une démonstration directe : nous avons commencé par l’hypothèse
(nestunentierrelatifpair)etnousavonsterminéparl’assertionrecherchée.
Ilesthabitueldesignalerlafind’unepreuveparunsymbolespécialouparuneabbréviationstandard.
La fin des preuves dans ces notes sera toujours marquée par le symbole 2. D’autres professeurs
utilisentd’autressymboles.Uneabbréviationtrèscouranteest«q.e.d.»(quoderatdemonstrandum–
cequiaétéàdémontrer).
Voiciuneautredéfinition.
Définition 1.4. Un entier relatif p Z est appelé nombre premier si p > 1 et les seuls diviseurs
∈
positifsdepsont1etp.
Nousavonsdonnécettedéfinitionetmaintenantnousvoulonsensavoirautantquepossiblesurcette
nouvellenotionquenousavonsdéfinie.Pourcommencer,lesnombrespremiersinférieursà20sont:
2,3,5,7,11,13,17,19.Vousconnaissezcertainementd’autresnombrespremiers.Unequestionvient
doncimmédiatementàl’esprit:existe-t-iluneinfinitédenombrespremiers?
LaréponseadéjàétédonnéeparEuclideilyaplusde2200ans.
Théorème1.5(Euclide). Ilexisteuneinfinitédenombrespremiers.
LadémonstrationdonnéeparEuclideestsouventconsidéréecommel’exempled’unepreuvebelleet
élégante. C’est une démonstration indirecte ou, plus précisement, démonstration par l’absurde.
Ondonned’abordladémonstrationetonexpliqueracestermesjusteaprès.
8 CHAPITREI. INTRODUCTIONAUXMATHÉMATIQUESÀL’UNIVERSITÉ
Démonstration. Supposonspourl’instantlecontrairedecequenousvoulonsdémontrer:iln’existe
qu’unnombrefini(disonsn)denombrespremiers.Onpeutalorslesnuméroter:
p ,p ,p ,...,p .
1 2 3 n
Considéronsl’entierpositif
m := p p p p +1. (1.1)
1 2 3 n
···
Nousallonsmaintenantutiliserquetoutentierpositif 2s’écritcommeproduitdenombrespremiers.
≥
Cetteassertiondoitêtredémontrée!Nouslefaisonsdanslelemme1.6quisuit.
Il existe alors un nombre premier p qui divise m. Le nombre premier p doit appartenir à notre liste
complètedesnombrespremiers,doncp = p pouruncertainientre1etn.
i
L’équation(1.1)montrequeladivisiondemparp laisselereste1.
i
Nous avons trouvé qu’en même temps p divise m et laisse le reste 1. Ceci est absurde, c’est une
i
contradiction.
Donc, notre hypothèse faite au début de cette preuve ne peut pas être vraie. Alors, son contraire est
vrai:ilexisteuneinfinitédenombrespremiers.
Leprincipedecettepreuveindirecteestdesupposervrailecontrairedel’assertionrecherchée.Puis,
on donne une suite d’arguments, comme avant, pour arriver à une assertion, dont on sait qu’elle est
fausse,absurdeetcontradictoire(dansnotrepreuve:lerestedeladivisiondemparpestàlafois0
et1).Noussavonsalorsquelecontrairedel’assertionrecherchéeestfaux.Celasignifiequel’assertion
est vraie, car une assertion est soit vraie soit fausse. Ce fait est souvent écrit en latin «Tertium non
datur»ets’appelleenfrançais«Principedutiersexclu».Onenreparleraplustard.
Lemme1.6. Soitn 2unentierrelatif.Alorsilexistedesnombrespremiersp ,...,p telsque
1 k
≥
n = p p p .
1 2 k
···
Remarquonsquedansl’énoncédulemme,lesnombrespremiersnesontpasnécessairementdistincts.
Remarquons également que, pour être encore plus précis, on aurait du écrire : «Alors il existe un
entierk 1etilexistedesnombrespremiersp ,...,p telsquen = p p p ».Ilesthabituelde
1 k 1 2 k
≥ ···
formuler l’enoncé comme nous l’avons fait, mais il faut toujours être conscient que l’existence de k
estimplicite.
Lapreuvedecelemmeestunautreexempled’unedémonstrationparl’absurde.
Démonstration. Supposons que l’énoncé du lemme est faux. Dans ce cas, il existe un entier positif
2 qui ne s’écrit pas comme un produit de nombres premiers. Soit n le plus petit entier ayant cette
≥
propriété.
L’entiernn’estpasunnombrepremier(sinonaveck = 1etp = nonauraitn = p ).
1 1
Commenn’estpasunnombrepremier,npossèdeundiviseurpositifddifférentde1etn.Pardéfini-
tion(dediviseur)ilexistem Ztelque
∈
n = md.
Notonsque1 < d < net1 < m < n.
2. ASSERTIONS 9
Comme n est le plus petit entier positif qui ne s’écrit pas comme un produit de nombres premiers et
m,dsontstrictementpluspetits,cesdeuxnombress’écriventsouslaforme
m = p p p et d = q q q
1 2 k 1 2 ℓ
··· ···
avecdesnombrespremiersp ,...,p etq ,...,q .
1 k 1 ℓ
Celadonne:
n = md = p p p q q q .
1 2 k 1 2 ℓ
··· ···
Nous avons donc obtenu que n s’écrit comme produit de nombres premiers. Ceci contredit notre
hypothèsequel’énoncédulemmeestfaux.Alors,ilestfauxquelelemmeestfaux;donc,lelemme
estvrai.
2 Assertions
Maintenant nous allons regarder la structure des écrits mathématiques de plus près. Le rôle central
est occupé par les assertions. Par exemple, une preuve est une suite d’assertions de telle sorte que la
véritéd’uneassertionimpliquelavéritédel’assertionsuivante.
Assertions
Uneassertionestunephrase(enmathématiques,ouailleurs)quiestsoitvraie,soitfausse,maispas
lesdeuxenmêmetemps.1 Iln’yapasdetroisièmepossibilité(enlatin:tertiumnondatur).
Nousavonsdéjàvudesexemples:
– Lecarréd’unentierrelatifpairestpair.
Cetteassertionestvraiecommenousl’avonsvudanslaproposition1.3.
– Iln’yaqu’unnombrefinidenombrespremiers.
Cetteassertionestfausse(voirlethéorème1.5).
D’autresexemplesd’assertions:
– x = 1
Lavéracitéounondecetteassertiondépendducontexte,carnousn’avonspaspréciséquiétaitx.
– Soitxunesolutiondel’équation2x = 2.Danscecontexte,l’assertion«x = 1»estvraie(onle
démontreendivisantpar2).
– Soitxunesolutiondel’équation2x = 4.Danscecontexte,l’assertion«x = 1»estfausse.
– Soitxunesolutiondel’équationx2 = 1.Danscecontexte,nousnepouvonsriendirequantàla
véritédel’assertion«x = 1»carxpeutêtre1ou 1.
−
– Pourillustrer,onpeutaussiprendredesassertionsdenotreviequotidienne,parexemple:
– Ilpleut.
– Larueestmouillée.
– etc.
1Ilyadessubtilitésaveccettephrasequenousn’évoqueronspas(ilfautquel’assertionsoitformuléeconvenablement)
carvousnelesrencontrerezdansaucuncoursdevosétudes,saufsivoussuivezuncoursdelogiquemathématique.
10 CHAPITREI. INTRODUCTIONAUXMATHÉMATIQUESÀL’UNIVERSITÉ
L’implication
⇒
Nousregardonsmaintenantdesrelationsentredeuxassertions.
(1) AssertionA:«Ilpleut.»
AssertionB:«Larueestmouillée.»
Nouspouvonslescombinerpourobtenirl’assertion:
«S’ilpleut,alorslarueestmouillée.»
Cette assertion est certainement vraie. Notez que nous n’avons pas dit que l’asser-
tion A est vraie. Nous avons seulement fait une remarque sur la relation entre les
deuxassertions.
Celanedevraitpasvouschoquer:Laphrase«S’ilpleut,alorslarueestmouillée.»
estvraiemêmes’ilnepleutpasencemoment.
(2) OnpeutaussicombinerlesassertionsAetBdupointprécédentcommeça:
«Ilsuffitqu’ilpleuvepourquelaruesoitmouillée.»
Cetteassertionestaussivraie;soncontenuestlemêmequ’avant.Nousavonsseule-
mentutiliséuneformulationplussophistiquée.
(3) AssertionA:«Jeréussisl’examen.»
AssertionB:«JereçoislespointsECTS.»
Onpeutlescombinerainsi:
«Sijeréussisl’examen,alorsjereçoislespointsECTS.»
C’estégalementuneassertionvraie.
(4) AssertionA:«x = 1»
AssertionB:«2x = 2»
Nouvelleassertionvraie:«Sionax = 1,alorsona2x = 2.»
Repétons que nous n’avons rien dit sur la vérité des assertions A et B. Nous avons
seulementconstatéunerelationentrelesdeuxassertions.
(5) AssertionA:«x = 1»
AssertionB:«x2 = 1»
Nouvelleassertionvraie:«Sionax = 1,alorsonax2 = 1.»
(6) (Justepourmontrerqu’onpeutaussiobtenirdesassertionsfausses:)
AssertionA:«x = 1»
AssertionB:«2x = 4»
Nouvelleassertionfausse:«Sionax = 1,alorsona2x = 4.»
Danslesdéfinitions,énoncésetdémonstrations,nousavonsdéjàutiliséquelquessymboles.Onpense
quevousavezdéjàvucessymbolesaulycée(parexemple« »,«<»,« »,«Z»).Onvamaintenant
≤ ∈
enintroduired’autresetsurtoutdiscuterleursignification.
Nousintroduisonslesymbole pourlesimplications.Ilestplacéentredeuxassertionspourindiquer
⇒
que la vérité de la première assertion entraîne la vérité de la deuxième. Donc le symbole se lit
⇒
comme:«implique»,«alors»,«enconséquence»,«donc»,«estsuffisantpour»etc.
Nous allons maintenant reprendre les phrases précédentes en utilisant . Notez que est toujours
⇒ ⇒
placéentredeuxassertions.