Algebra lineare, elementi di geometria analitica ed aspetti matematici della prospettiva

441 Pages·2017·7.43 MB·Italian

Università di Roma "Tor Vergata"
Corso di Laurea in
Scienza dei Media e della Comunicazione
Algebra lineare,
elementi di geometria analitica
ed aspetti matematici della
prospettiva
Massimo A. Picardello
László Zsidó

i
BOZZA 31.5.2017 16:34

Indice
Parte 1. Algebra lineare 1
Capitolo 1. Introduzione 3
1.1. Numeri interi, razionali e reali 3
1.2. Alcune notazioni 7
1.3. Appendice: numeri naturali, interi, razionali e reali 8
Capitolo 2. Spazi vettoriali 21
2.1. Definizione di spazio vettoriale 22
2.2. Proprietà della somma 23
2.3. Altre proprietà delle operazioni sui vettori 26
2.4. Combinazioni lineare di vettori 28
2.5. Sistemi di vettori linearmente dipendenti o indipendenti 29
2.6. Sottospazi vettoriali ed insiemi di generatori 32
2.7. Base di uno spazio vettoriale 34
Capitolo 3. Applicazioni lineari e matrici 41
3.1. Definizione di applicazione lineare 41
3.2. Immagine e nucleo di una applicazione lineare 42
3.3. Spazi vettoriali di polinomi ed applicazioni lineari 45
3.4. Esercizi sulle applicazioni lineari su spazi di polinomi 47
3.5. Applicazioni lineari fra Rn e Rm e calcolo con matrici 48
3.6. Spazi vettoriali di matrici 50
3.7. Soluzione di sistemi lineari: eliminazione di Gauss 53
3.7.1. Come trovare basi tramite eliminazione di Gauss 57
3.8. Rango di una matrice 61
3.9. Applicazioni lineari e matrici invertibili 64
3.10. Il calcolo della matrice inversa 65
3.11. Minori ed orli di una matrice ed invertibilità 69
3.12. Esercizi sulle trasformazioni lineari 74
3.13. Isomorfismi fra spazi vettoriali 81
Capitolo 4. Cambiamento di base 83
4.1. Trasformazione di coordinate sotto cambiamento di base 83
4.2. Matrice di un’applicazione lineare e cambiamento di basi 87
iii
iv INDICE
4.3. Cenni introduttivi sulla diagonalizzazione 94
4.4. Esercizi sulla diagonalizzazione 95
Capitolo 5. Determinante di matrici 101
Capitolo 6. Prodotti scalari e ortogonalità 105
6.1. Prodotto scalare euclideo nel piano ed in Rn 105
6.2. Spazi vettoriali su C 107
6.3. ∗ La definizione generale di prodotto scalare 108
6.4. Matrici complesse, autoaggiunte e simmetriche 109
6.5. ∗ Norma e prodotti scalari definiti positivi 111
6.6. Ortogonalità 113
6.7. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt 117
6.8. Matrici ortogonali e matrici unitarie 122
6.9. ∗ Matrice associata ad un prodotto scalare 124
Capitolo 7. Autovalori, autovettori e diagonalizzabilità 129
7.1. Triangolarizzazione e diagonalizzazione 129
7.2. Autovalori, autovettori e diagonalizzazione 130
7.3. Ulteriori esercizi sulla diagonalizzazione sul campo R 137
7.4. Autovalori complessi e diagonalizzazione in MC 151
n
7.5. Diagonalizzabilità di matrici simmetriche o autoaggiunte 152
7.6. Esercizi sulla diagonalizzazione di matrici simmetriche 155
7.7. Qualche applicazione degli autovettori 157
7.7.1. Dinamica delle popolazioni 157
7.7.2. Sistemi dinamici 159
Capitolo 8. Somma diretta di spazi vettoriali 163
Capitolo 9. Triangolarizzazione e forma canonica di Jordan 165
9.1. ∗ Polinomio minimo 165
9.2. Forma canonica di Jordan 165
Capitolo 10. Spazi normati, funzionali lineari e dualità 167
10.1. La disuguaglianza di Cauchy-Schwartz 167
10.2. Operatori lineari e funzionali lineari su spazi normati 168
10.3. ∗ Duale di somme dirette e di complementi ortogonali 171
10.4. Spazio quoziente e dualità 173
10.5. Esercizi svolti su quozienti e dualità 177
Parte 2. Geometria analitica e proiettiva 185
Capitolo 11. Vettori e geometria euclidea ed analitica nel piano 187
11.1. L’equazione della retta nel piano 187
11.2. Cerchi nel piano 190
INDICE v
11.3. Esercizi di geometria analitica nel piano 191
11.3.1. Rette 191
11.3.2. Triangoli 194
11.3.3. Parallelogrammi 195
11.3.4. Cerchi 198
Capitolo 12. Vettori e geometria euclidea ed analitica in R3 205
12.1. L’equazione del piano in R3 205
12.2. L’equazione della retta in R3 207
12.3. Proiezioni e distanze fra piani 210
12.4. Sfere 212
12.5. Esercizi di geometria analitica in R3 213
12.6. Raggi riflessi e rifratti 219
Capitolo 13. ∗ Spazi proiettivi 223
13.1. Introduzione alla proiettività 223
13.2. Definizione formale di spazi proiettivi 226
13.2.1. Retta proiettiva P1(R) 230
13.2.2. Piano proiettivo P2(R) 232
13.2.3. Spazio proiettivo n-dimensionale Pn(R) 234
13.2.4. Modelli per Pn(R) 235
13.3. Sottospazi proiettivi di Pn(R) 236
13.3.1. Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi
proiettivi di Pn(R) 237
13.3.2. Traccia di sottospazi proiettivi di Pn(R) nelle carte
affini 238
13.3.3. Completamento proiettivo di luoghi geometrici lineari
in Rn 240
13.4. (∗) Pn come compattificazione di Rn 247
13.5. Trasformazioni proiettive 248
13.6. Esercizi svolti di Geometria Proiettiva e trasformazioni
proiettive 251
Capitolo 14. ∗ Trasformazioni affini 263
14.1. Moti rigidi in Rn immersi in trasformazioni lineari di
Rn+1 263
14.2. Alcune trasformazioni affini del piano cartesiano 268
14.2.1. Alcune isometrie del piano cartesiano R2 268
14.2.2. Alcune trasfromazioni affini (non isometriche) del piano
cartesiano 274
14.3. Alcune trasformazioni affini dello spazio cartesiano 277
14.3.1. Alcune isometrie fondamentali dello spazio cartesiano
R3 277
vi INDICE
14.3.2. Alcune trasformazioni affini (non isometrie) dello spazio
cartesiano 287
14.4. Esercizi svolti sulle trasformazioni affini 289
14.5. Esempio: spostamento di una macchina da ripresa 300
Capitolo 15. ∗ Quaternioni e matrici di rotazione 305
15.1. Espressione delle rotazioni in forma assiale 305
15.2. Rotazioni in R2, numeri complessi ed estensione a tre
dimensioni 306
15.3. Quaternioni 307
15.3.1. Proprietà e definizioni 307
Definizioni 308
Proprietà 309
15.4. Rotazioni in R3 e coniugazione di quaternioni 310
15.4.1. Composizione di rotazioni e prodotto di quaternioni 311
15.4.2. Matrice di rotazione in termini di quaternioni 312
Parte 3. Matematica della prospettiva 315
Capitolo 16. ∗ Trasformazioni prospettiche 317
16.1. Prospettiva centrale, proiezione standard 318
16.2. Proiezione prospettica ortogonale (o ortografica) 326
16.3. Un’unica matrice per prospettiva centrale e ortogonale 328
16.4. Forma matriciale generale della prospettiva centrale 330
16.5. Punti di fuga della prospettiva centrale 335
16.6. Prospettive parallele 357
16.6.1. Proiezione parallela 358
16.6.2. Proiezione obliqua 361
Proiezioni cavaliera e cabinet 365
16.6.3. Vari tipi di proiezioni ortogonali 366
16.7. Applicazione: rimozione di linee nascoste in grafici 3D 367
16.7.1. Rimozione di linee prospetticamente nascoste 368
16.7.2. Algoritmo veloce di rimozione di linee nascoste in
grafici 3D: allineamento della griglia 373
16.7.3. Appendice: pseudocodice per la rimozione di linee
nascoste 378
Parte 4. Appendice: norme, prodotti scalari, forme
bilineari 395
Capitolo 17. ∗ Appendice: norme, prodotti scalari
e forme bilineari 397
17.1. Completezza e compattezza negli spazi metrici 397
INDICE vii
17.2. Norme su spazi vettoriali reali 404
17.3. Prodotti scalari su spazi vettoriali reali 411
17.4. Norme e prodotti scalari su spazi vettoriali complessi 418
17.5. Basi ortogonali e proiezione ortogonale 424
Bibliografia 431