A számítástudomány alapjai

218 Pages·2013·1.833 MB·Hungarian

by  Fleiner Tamás

A sz´am´ıt´astudom´any alapjai
A BME I. ´eves villamosm´ern¨ok, m´ern¨ok-informatikus ´es matematikus-hallgato´i sz´am´ara
O¨sszea´ll´ıtotta: Fleiner Tama´s
G
1
G
x(cid:48)
v(cid:48)
v
x
Utols´o friss´ıt´es: 2013. december 23.
Tartalomjegyz´ek
Bevezet˝o 4
Vizsgatematika 7
1. Alapismeretek 10
1.1. Komplex sz´amok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1. Elemi lesza´mla´l´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2. A szita-formula ´es a skatulya-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3. Koordin´atageometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Line´aris algebra 26
2.1. Vektorterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Line´aris egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1. Egy koordin´atageometriai alkalmaz´as . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3. Permut´acio´k, determina´nsok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1. Permuta´ci´ok, inverzi´osza´m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2. Determina´nsok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4. M´atrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.1. Ma´trixmu˝veletek, t´erbeli vektorok szorz´asa . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.2. Ma´trix inverze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.3. Ma´trix rangja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.4. Linea´ris egyenletrendszerek ta´rgyala´sa ma´trixokkal . . . . . . . . 52
2.5. Line´aris lek´epez´esek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5.1. Linea´ris lek´epez´esek m´atrixai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.2. Linea´ris transzforma´ci´ok ´es ma´trixok saj´at´ert´ekei, saj´atvektorai ´es
saja´talterei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3. Gr´afok 62
3.1. A gra´felm´elet alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2. F´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1
3.2.1. Fa´k alaptulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.2. Cayley t´etele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.3. Kruskal algoritmusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3. Euler ´es Hamilton beja´ra´sok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.1. Gra´fok ´eleinek beja´ra´sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.2. Gra´fok csu´csainak bej´ara´sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4. Gr´afbeja´ra´sok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4.1. Legr¨ovidebb utak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.2. Legsz´elesebb utak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.3. M´elys´egi beja´ra´s, aciklikus gra´fok, leghosszabb utak . . . . . . . . 94
3.5. H´al´ozati folyamok ´es alkalmaza´saik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5.1. Menger t´etelei ´es gra´fok t¨obbsz¨or¨os ¨osszefu¨ggo˝s´ege . . . . . . . . . 105
3.5.2. Pa´ros gr´afok, pa´ros´ıt´asok ´es gr´afparam´eterek . . . . . . . . . . . . 110
3.6. S´ıkgra´fok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.6.1. S´ıkgra´fok dualita´sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.7. Gr´afok sz´ınez´esei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.7.1. Gra´fok ´elsz´ınez´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.7.2. S´ıkgra´fok sz´ınez´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.8. Perfekt gra´fok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4. Sz´amelm´elet 142
4.1. Oszthat´osa´g, pr´ımek, k¨oz¨os oszt´ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.2. Kongruencia´k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.3. Reduka´lt marad´ekrendszer, Euler-Fermat t´etel . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.4. Line´aris kongruencia´k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5. A´ltal´anos algebra 158
5.1. Algebrai struktu´r´ak, csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.1.1. F´elcsoportok ´es csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.1.2. Ciklikus csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.1.3. Di´edercsoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.1.4. Permuta´cio´csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.1.5. A kvaternio´csoport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.1.6. A csoportelm´elet alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.2. Direkt ¨osszeg, v´eges Abel csoportok alapt´etele . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.3. Gyu˝ru˝k, testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6. Adatszerkezetek, algoritmusok ´es bonyolults´agelm´elet 176
6.1. Alapveto˝ adatszerkezetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.2. Keres´es, rendez´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.2.1. Keres´esi feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2
6.2.2. Rendez´esi feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.3. Gr´afok ta´rol´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.4. Algoritmusok bonyolultsa´ga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.4.1. N´eh´any egyszeru˝ elja´ra´s bonyolultsa´ga . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.5. A P ´es NP probl´emaoszt´alyok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.5.1. NP-teljess´eg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.5.2. Neh´ez probl´em´ak megolda´sa a gyakorlatban . . . . . . . . . . . . 200
6.6. A kriptogra´fia alapjai ´es az RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.6.1. Pr´ımtesztel´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.6.2. Nyilv´anos kulcsu´ titkos´ıra´sok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.7. Bizony´ıta´s informa´cio´k¨ozl´es n´elku¨l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7. A halmazelm´elet alapjai 210
3
Bevezet˝o
Jelen tank¨onyv a BME-n villamosm´ern¨ok-hallgato´knak oktatott, A sz´am´ıta´studoma´ny
”
alapjai”c´ımu˝ (VISZA 105 fedo˝nevu˝) t´argyhoz tartozo´ jegyzet, de hasznosan forgathat-
ja´k a Bevezet´es a Sz´am´ıta´studoma´nyba (VISZA 103 ´es VISZA 110) elo˝ada´st hallgat´o
m´ern¨ok-informatikusok ´es a Kombinatorika ´es Gra´felm´elet (VIMA 0173 ´es VIMA 0175)
t´argy matematikus hallgat´oi is. A feldolgozott anyag nagyr´eszt lefedi a tan´or´akon le-
adott (´es sza´monk´er´eseken elva´rt) ismereteket, helyenk´ent tu´l is mutat az el˝oada´son
elhangzottakon,´ıgy olyan r´eszeket is tartalmaz, amelyek ismeret´et nem k¨ovetelju¨k meg
a vizsga´n. Mivel a villamosm´ern¨ok tananyag ´eppen a´talakulo´ban van, ez´ert bizonyos
t´emak¨or¨ok egyelo˝re hia´nyoznak, a´m ahogyan a v´altoz´asok el˝orehaladnak, u´gy keru¨lnek
azok is kidolgoza´sra.
A vizsga´ra t¨ort´eno˝ felk´esz´ıt´esen tu´l a jegyzetnek c´elja egyu´ttal az diszkr´et matemati-
k´arafog´ekonyhallgat´ok´erdekl˝od´es´enekfelkelt´eseis. Azegy-egyt´emak¨orira´ntkomolyab-
ban´erdekl˝od˝o olvas´okat c´elozza´k azok a megjegyz´esek, amelyek m´elyebb ¨osszefu¨gg´esekre
mutatnak ra´. Ne felejtsu¨k el azonban, hogy ezek csupa´n a kieg´esz´ıto˝ ismeretek: ahhoz,
hogy egy adott anyagr´eszben valaki t´enylegesen elm´elyu¨lhessen, a val´odi szakirodalmat
(is) ´erdemes tanulm´anyoznia. Hogyan c´elszeru˝ a jegyzetet haszna´lni, ´es egy´altala´n: ho-
gyan folyik a vizsga?
A jegyzetet ¨osszea´ll´ıta´sakor fontos szempont volt, hogy abban a tananyagbo´l min-
den szerepeljen, amit a vizsg´an megk´erdezhet a vizsga´ztat´o. Ez bizonyosan nem sike-
ru¨lt t¨ok´eletesen, de a sza´nd´ek megvolt. A jegyzet fel´ep´ıt´ese a defin´ıcio´-t´etel-bizony´ıt´as
szentha´romsa´gon alapszik: a defini´alt fogalmakat d˝olt betu˝s szed´es jelzi, a t´etel (´all´ıt´as,
megfigyel´es, lemma) elo˝tt f´elk¨ov´eren tala´lhato´, mir˝ol is van szo´, a bizony´ıt´asok v´eg´et
pedig olyan kiskocka jelzi, mint amilyen pl. ennek a sornak a v´eg´en is ´all. (cid:3)
A jegyzet ¨osszea´ll´ıta´sakor az is c´el volt, hogy ne legyen tu´l sz´araz az anyag. A jegyzet
ez´ert tartalmaz a tananyagot kieg´esz´ıto˝, ill. ahhoz kapcsol´od´o, ´erdekesnek´ıt´elt informa´-
cio´morzsa´kat is. Az´ıgy (pl. Megjegyz´es vagy T¨ort´enelem c´ımszavak uta´n, vagy apr´o
betu˝vel szedetten) k¨oz¨olt ismereteket a (BME) vizsga´n teha´t nem k¨ovetelju¨k meg: az az
a´ltal´anos ira´nyelv, hogy az ilyen r´eszeket m´eg a jeles oszt´alyzat´ert sem k¨otelezo˝ ismer-
ni. Tal´an nem tu´l kocka´zatos azt kijelenteni, hogy a fennmarado´ r´eszek behato´ ismerete
elegendo˝ az adott t´emak¨orben a jeles oszt´alyzathoz. A spektrum ma´sik v´eg´enek el´er´e-
s´ere ma´r l´enyegesen t¨obb leheto˝s´eg k´ın´alkozik. El´egtelent pl. u´gy lehet szerezni, hogy
4
a vizsg´azo´ nem tudja pontosan kimondani valamelyik l´enyeges defin´ıcio´t, t´etelt vagy a´l-
l´ıta´st. Eredm´enyes mo´dszer az is, ha a defin´ıcio´kat ´es t´eteleket sz´o szerint bemagolja
a hallgato´, de a vizsga´n bizonysa´g´at adja, hogy nem ´erti, miro˝l besz´el. M´as szo´val:
a legala´bb el´egs´eges oszt´alyzatnak felt´etele a t¨orzsanyaghoz tartozo´ fogalmak, a´ll´ıt´asok
pontos ismerete, vagyis az, hogy a hallgato´ ezeket ki tudja mondani, k´epes legyen azokat
alkalmazni ´es azokra szu¨ks´eg eset´en p´eld´at mutatni. Az el´egs´eges oszt´alyzatnak nem
felt´etele, hogy minden ismertetett bizony´ıt´ast t¨ok´eletesen ismerjen a vizsg´azo´. So˝t: aka´r
egyetlen egyet sem kell tudnia. Azonban aki ennek alapja´n pro´ba´l levizsga´zni, az azt u¨ze-
ni az ˝ot vizsga´ztat´onak, hogy nagyon nem´erdekli ˝ot az anyag. Mint gyakorlo´ vizsg´aztato´
elmondhatom, hogy ez engem arra ¨oszt¨on¨oz, hogy alaposan gyo˝zo˝djek meg a defin´ıci´ok
´es t´etelek kell˝o szintu˝ ismeret´ero˝l, mert azt gondolom, hogy sza´mos olyan a´ll´ıt´ast tar-
talmaz a tananyag, amit u´gy a legk¨onnyebb meg´erteni, ha ismerju¨k a bizony´ıta´st, vagy
´
legala´bb annak va´zlata´t. Altala´noss´agban elmondhat´o, hogy sokkal fontosabb (´ertsu¨k:
elengedhetetlen), hogy egyetlen t´emak¨orben se lehessen zavarba hozni a vizsga´z´ot, mint
egy-egy bizony´ıta´s r´eszletes ismerete. Akinek sajnos”nem jut ideje a ferdetest obskurus
”
defin´ıcio´ja´t megtanulni, de hatosra tudja a Menger t´etelt, az ´eppu´gy megbukik, mint az,
aki semmit sem tud a pr´ımsza´m defin´ıci´oja´n k´ıvu¨l, ´es azt is csak alig.
A vizsga lebonyol´ıt´asa u´gy t¨ort´enik, hogy minden vizsga´ra jelentkezo˝ hallgato´nak ki-
sorsolunk egy t´etelt az itt is megtal´alhato´ t´etelsorb´ol. Ezt k¨oveto˝en legala´bb 45 perc
felk´eszu¨l´esi ido˝ alatt a hallgato´ kidolgozhatja a t´etel´et, c´elszeru˝en va´zlatot´ır. A sza´mon-
k´er´es abbo´l a´ll, hogy a kidolgozott va´zlat alapj´an ki kell tudni mondani a vizsgat´etelben
szerepl˝odefin´ıci´okat´est´eteleket, illetvereproduka´lnikelltudniabizony´ıt´asokat. Hanem
megy maga´to´l, a vizsga´ztato´ seg´ıt. Sza´m´ıtani kell arra is, hogy m´asik t´etellel kapcsolatos
fogalmakra, a´ll´ıt´asokra is ra´k´erdez a vizsga´ztat´o. Az az ir´anyelv, hogy zh-k ´altal le nem
fedett anyagr´eszb˝ol minden vizsga´zo´ kap k´erd´est. A vizsga´ztat´o szem´elye a helysz´ınen
do˝l el, az esetek t¨obbs´eg´eben valamelyik elo˝ado´ vagy gyakorlatvezet˝o el˝ott kell sz´amot
adni a tuda´sro´l.
Hogyan is j¨ott l´etre a jelen jegyzet? A munka m´eg 2004 tavasza´n kezdo˝d¨ott egy
seg´edlet meg´ıra´sa´val, azo´ta h´ızik az anyag. F´el´ev v´eg´en az el˝oad´ason elhangzottaknak
megfelelo˝en igyekeztem igaz´ıtani a tartalmon, ´es pro´ba´ltam folyamatosan gyoml´alni a je-
lento˝ssz´ambanfelbukkano´hib´akatis. (Volt,van,leszisbel˝olu¨kb˝oven.) Ebbenaharcban
mu´lhatatlan ´erdemeket szereztek azok a hallgat´ok (´es koll´eg´ak, ku¨l¨on¨osen To´th G´eza, az
anyag szakmai lektora), akik jelezt´ek, ha el´ır´ast vagy hiba´t tala´ltak. Munka´jukat ezu´ton
is k¨osz¨on¨om: ennek r´ev´en jegyzet haszna´lhat´osa´ga jelent˝osen javult´es rem´enyeim szerint
sza´mos k´eso˝bbi hallgat´o felk´eszu¨l´ese v´alik k¨onnyebb´e. Ebbo˝l a munka´bo´l term´eszetesen
´en is kiveszem a r´eszemet: minden a´tdolgoza´skor u´jabb el´ır´asokat´es t´eved´eseket illesztek
´
az anyagba az egyensu´ly mego˝rz´ese ´erdek´eben. Alljon az´ert itt egy n´evsor azokro´l, akik
megjegyz´eseikkel, javaslataikkal ´erdemben r´eszt vettek a jegyzet jav´ıt´asa´ban:
Baranyai Bal´azs, Benei Viktor, Bui Duy Hai, Cs¨ondes L´aszlo´, Erd˝os Csana´d, Fleiner
´ ´
Bala´zs, Hidasi P´eter, Joo´ Ada´m, Keresztes La´szl´o, Ketipisz Vangelisz, Kova´cs Akos,
´
Moln´ar Gergely, Mucsi D´enes, Nagy G´abor, Nagy-Gyo˝r Ada´m, Pereszl´enyi Attila, Pint´er
5
Oliv´er, Ra´di Attila, Simon K´aroly, Simon Tama´s, Sweidan Omar, Szabo´ Andor, Szabo´
Ba´lint,Sza´rnyasG´abor,SzebedyBence, Szedel´enyiJa´nos,SzeleiTama´s,TarnayK´alma´n,
´ ´
Tauber Ada´m, To´th Zolta´n, Vandra Akos, Varga Da´niel, Varga Judit, Velinszky La´szlo´,
Vir´ag Da´niel, Viszkei Gy¨orgy, Vo˝neki Balazs, Wiener Ga´bor, WolframAlpha, Zsolnay
Ka´roly.
Val´osz´ınu˝leg minden ero˝fesz´ıt´es ellen´ere is sza´mos hiba maradt a most k¨ozreadott
jegyzetben. Term´eszetesen minden ilyen hia´nyossa´g´ert egyedu¨l az eny´em a felelo˝ss´eg.
A jegyzettel, az abban tala´lhato´, aka´r helyes´ıra´si, nyelvhelyess´egi, aka´r mo´dszertani,
aka´r matematikai hiba´kkal kapcsolatos megjegyz´eseket ´es a konstrukt´ıv hozza´szo´la´sokat
k¨osz¨[email protected]´ımen. U¨nnep´elyesen´ıg´erem, hogyaz´erdemi
kritika figyelembev´etel´evel igyekszem tov´abb jav´ıtani az anyagot.
Minden olvas´onak sikeres felk´eszu¨l´est ´es eredm´enyes vizsg´aza´st k´ıv´anok.
Budapest, 2013. december 23.
Fleiner Tam´as
6
A Sz´am´ıt´astudom´any Alapjai
vizsgatematika a 2012/2013-as tan´evben
1. Lesza´ml´al´asi alapfogalmak: permut´acio´k, varia´ci´ok´es kombina´cio´k (ism´etl´es n´elku¨l
´es ism´etl´essel); binomia´lis egyu¨tthato´k k¨ozti egyszeru˝ ¨osszefu¨gg´esek, a binomi´alis
t´etel, skatulya-elv, szita-formula.
2. Alapveto˝ adatstruktu´ra´k: t¨omb, la´ncolt lista, bina´ris fa. Line´aris´es bin´aris keres´es,
ezek l´ep´essza´ma, minimumkeres´es, beszu´ra´si feladat, rendez´esi feladat. Bubor´ek-,
kiv´alaszt´asos, beszu´ra´sos, ¨osszef´esu¨l´eses ´es gyorsrendez´es, als´o korla´t, l´ep´essz´am-
becsl´esek.
3. L´adarendez´es, bina´ris kereso˝f´ak. Keres´es, beszu´r´as, t¨orl´es, minimumkiva´laszta´s,
pre-, in- ´es posztorder bin´aris keres˝ofa´ban, rendez´es bina´ris kereso˝fa´val. Kupac,
kupacos rendez´es.
4. Gra´felm´eleti alapfogalmak: pont, ´el, foksz´am, szomsz´edossa´gi m´atrix, szomsz´edos-
sa´gi lista, ´ellista. Egyszeru˝ gra´f, r´eszgr´af, fesz´ıtett r´eszgra´f, izomorfia, ´elsorozat,
s´eta, u´t, k¨or, ¨osszefu¨ggo˝ gra´f, komponens. Gr´afok foksz´am¨osszege, f´ak egyszeru˝bb
tulajdonsa´gai.
5. Cayley t´etele fa´k sz´am´ar´ol, Pru¨fer ko´d. Minim´alis k¨olts´egu˝ fesz´ıto˝fa, Kruskal algo-
ritmus, norma´l f´ak.
6. Euler-s´eta ´es k¨ors´eta, l´etez´es´enek szu¨ks´eges ´es el´egs´eges felt´etele. Hamilton-k¨or
´es u´t; szu¨ks´eges, illetve el´egs´eges felt´etelek Hamilton-k¨or l´etez´es´ere: Dirac ´es Ore
t´etelei.
7. Legr¨ovidebb utakat kereso˝ algoritmusok (BFS, Dijkstra, Ford, Floyd). Legsz´ele-
sebb utak ira´ny´ıtott ´es ira´ny´ıtatlan gr´afban.
8. Ha´lo´zati folyamok: h´al´ozat, folyam, folyamnagysa´g (folyam´ert´ek), st-va´ga´s, v´aga´s
kapacita´sa. Ford-Fulkerson t´etel, jav´ıt´o utas algoritmus. Eg´esz´ert´eku˝s´egi lemma,
Edmonds-Karp t´etel (biz. n´elku¨l).
9. T¨obbtermel˝os, t¨obbfogyaszt´os ha´lo´zatok, csu´cskapacit´asok ´es ira´ny´ıtatlan ´elek ke-
´
zel´ese. El- ´es pontidegen utak. Menger n´egy t´etele, gr´afok t¨obbsz¨or¨os ¨osszefu¨ggo˝-
s´ege, kapcsolata a Menger t´etelekkel.
10. P´aros gra´fok, ekvivalens defin´ıcio´. Pa´ros´ıta´sok, Hall, Frobenius ´es Ko˝nig t´etelei,
alterna´l´o utas algoritmus maxima´lis pa´ros´ıt´as keres´es´ere. Lefogo´ ´es fu¨ggetlen csu´-
csok ill.´elek, Gallai k´et t´etele. Tutte t´etele p´aros´ıta´sokr´ol (csak a trivia´lis ir´anyban
bizony´ıtva).
7
11. Pont-´es´elsz´ınez´es, kromatikussz´am, klikksza´m, also´´esfelso˝korla´tokakromatikus
´es ´elkromatikus sz´amra, Brooks t´etel (biz. n´elku¨l), Myczielski-konstrukcio´, Vizing
t´etel (biz. n´elku¨l).
12. S´ıkbarajzolhato´sa´g, g¨ombre rajzolhat´osa´g. Az Euler-f´ele poli´edert´etel ´es k¨ovetkez-
m´enyei: egyszeru˝, s´ıkbarajzolhato´ gra´fok ´elsza´ma ´es minima´lis foksza´ma. Kura-
towski gra´fok, Kuratowski t´etele (csak k¨onnyu˝ ira´nyban biz.), Fa´ry-Wagner t´etel
(biz. n´elku¨l).
13. Dualit´as, tulajdonsa´gai. Elva´go´ ´el, soros ´elek, va´g´as. Gyenge izomorfia, absztrakt
dualita´s, Whitney h´arom t´etele (biz. n´elku¨l), s´ıkgra´fok kromatikus sz´ama, ¨otsz´ın-
t´etel.
14. M´elys´egi keres´es ´es alkalmaz´asai (´elek oszta´lyoz´asa, ira´ny´ıtott k¨or l´etez´es´enek el-
d¨ont´ese), alapk¨orrendszer, alap va´ga´srendszer. Aciklikus ir´any´ıtott gr´afok jellem-
z´ese, topologikus sorrend, PERT-mo´dszer, kritikus utak ´es tev´ekenys´egek.
15. Algoritmusok bonyolults´aga, d¨ont´esi probl´ema´k. P,NP,co − NP bonyolultsa´gi
oszt´alyok fogalma, felt´etelezett viszonyuk, polinomi´alis visszavezetheto˝s´eg, NP-
teljess´eg, Cook-Levin t´etel (biz. n´elku¨l), nevezetes NP-teljes probl´ema´k: SAT,
´ ´ ´
HAM, 3-SZIN, k-SZIN, MAXFTN, MAXKLIKK, HAMUT.
16. Oszthat´osa´g, legnagyobb k¨oz¨os oszt´o, legkisebb k¨oz¨os t¨obbsz¨or¨os, euklideszi algo-
ritmus, pr´ımek ´es felbonthatatlan sza´mok, a sza´melm´elet alapt´etele, oszto´k sz´ama,
nevezetes t´etelek pr´ımsza´mokr´ol: pr´ımek sz´ama, pr´ımek k¨ozti h´ezag m´erete ´es a
pr´ımsz´amt´etel (biz. n´elku¨l).
17. Kongruencia fogalma, mu˝veletek kongruencia´kkal. Teljes ´es reduka´lt marad´ek-
rendszer, az Euler-f´ele ϕ-fu¨ggv´eny, Euler-Fermat t´etel ´es kis Fermat t´etel. Line´aris
kongruencia´k megoldhat´osa´ga ´es megold´asa. Line´aris diofantikus egyenletek meg-
old´asa.
18. 2-v´altoz´os mu˝velet, f´elcsoport, csoport, p´eld´ak sza´mokon ´es nem sz´amokon. Cso-
port rendje, csoportok izomorfi´aja, r´eszcsoport, genera´lt r´eszcsoport, elem rendje,
ciklikus csoport, di´edercsoport.
19. Mell´ekoszta´ly, Lagrange t´etele, elem rendj´ere vonatkoz´o k¨ovetkezm´enye. Gyu˝ru˝k.
0, 1, ellentett fogalma, 0-val szorza´s gyu˝ru˝ben. Kommutat´ıv, egys´egelemesgyu˝-
ru˝.P´elda´k gyu˝ru˝kre sza´mokon ´es polinomokkal. Ferdetest, test fogalma, p´eld´ak
sza´mokon, polinomok ha´nyadosteste. Polinomok marad´ekos oszta´sa p´eld´an szem-
l´eltetve.
8
20. Sz´amelm´eleti algoritmusok: alapmu˝veletek, (modulo m) hatv´anyoza´s ´es az eukli-
deszi algoritmus. Pr´ımtesztel´es. Nyilva´nos kulcsu´ titkos´ıra´sok, digita´lis ala´´ır´as. Az
RSA titkos´ıta´si m´odszer.
9