Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию «66 Герценовские чтения»

380 Pages·2013·22.065 MB·Russian

by  Под ред. Орлова В.В.

Министерство образования и науки Российской Федерации
Российский государственный педагогический университет
им. А. И. Герцена

ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ И ПРАКТИКИ
ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Сборник научных работ,
представленных
на Международную научную конференцию
«66 Герценовские чтения»

Санкт-Петербург
Издательство РГПУ им. А.И. Герцена
2013
ББК 74.262.21 я 431
П 78

Печатается по рекомендации Учебно-методического объединения по направ-
лениям педагогического образования и решению редакционно-издательского совета
РГПУ им. А.И. Герцена

Научный редактор: д-р пед. наук, проф. В.В. Орлов

П 78 Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных
работ, представленных на Международную научную конференцию «66
Герценовские чтения» / Под ред. В.В. Орлова. – СПб.: Изд-во РГПУ им.
А.И. Герцена, 2013. – 379 с.
ISBN 978-5-8064-1804-4

В сборник включены статьи и тезисы научных докладов, раскры-
вающие возможные пути решения актуальных теоретических и практиче-
ских проблем методики обучения математике в средней и высшей школе,
различные направления модернизации отечественного математического
образования.

ББК 74.262.21 я 431

ISBN 978-5-8064-1804-4 © Коллектив авторов, 2013
© Издательство РГПУ
им. А.И. Герцена, 2013
РАЗДЕЛ I.
ИЗ ИСТОРИИ КАФЕДРЫ МЕТОДИКИ
ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ И ФАКУЛЬТЕТА МАТЕМАТИКИ

В.В. Орлов, Н.С. Подходова (С.-Петербург)
ЕВДОКИИ ИВАНОВНЕ ЛЯЩЕНКО – 85!

1 марта 2013 года исполнилось 85 лет профессору Евдокии Ивановне
Лященко. Более четверти века профессиональная деятельность Евдокии
Ивановны была непосредственно связана с кафедрой методики преподава-
ния математики, а с 1978 года по 1991 год она заведовала нашей кафедрой.
Вся жизнь Евдокии Ивановны связана с работой с людьми. Окончив в
1950 году Омский педагогический институт, Е.И. Лященко начала работать
учителем математики, и ее живейший интерес к теории и практике обуче-
ния математике в школе и вузе сохраняется по сегодняшний день. В бесе-
дах со своими учениками Евдокия Ивановна постоянно подчеркивает, что
ее в большей мере интересует научная составляющая этого процесса, неже-
ли преподавательская работа. Более десяти лет она проработала в НИИ пе-
дагогики Белоруссии, сначала в качестве старшего научного сотрудника, а
затем заместителя директора института. Богатейший опыт исследователь-
ской работы Евдокия Ивановна щедро передавала своим многочисленным
ученикам и продолжает это делать и сейчас.
Кратковременным, но богатым событиями, был тот период, когда Ев-
докия Ивановна работала секретарем Могилевского областного комитета
комсомола. Это – участие в освоении целинных земель и подготовка Все-
мирного фестиваля молодежи и студентов в Москве в 1957 году.
С 1976 года Евдокия Ивановна начала работать на нашей кафедре. Мы
– авторы этой статьи – были первыми студентами Евдокии Ивановны. Пер-
выми – в прямом смысле. До этого момента Евдокия Ивановна никогда не
учила студентов. Мы изучали под ее руководством методику преподавания
математики, а она училась читать студентам лекции, проводить практиче-
ские занятия, ориентироваться в учебном расписании. Именно так она сама
часто характеризует этот начальный период своей работы в ЛГПИ им. А.И.
Герцена.
За время работы на кафедре не одна сотня студентов слушала курсы
Евдокии Ивановны. Многих из них, и даже тех, кто не стал продолжать на-
учную работу, она тепло вспоминает до сих пор. Евдокия Ивановна всегда
умела ненавязчиво заинтересовать слушателей проблемами методики обу-
чения математике, привить интерес к исследовательской деятельности, не
только аспирантам, но и студентам, своим дипломникам, соискателям. Под
руководством Евдокии Ивановны Лященко выполняли дипломную работу
3
Наталья Семеновна Подходова, Виктория Игоревна Снегурова, которые
ныне – доктора педагогических наук, профессора нашей кафедры.
Именно Евдокия Ивановна, с ее пытливым умом, умением видеть про-
блемы казалось бы, в совершенно очевидных вещах, принимать и обсуж-
дать разные подходы, которые могли идти в разрез с традиционными взгля-
дами на теорию и методику обучения математике, научила нас критически
относиться к различным позициям и мнениям. Несмотря на ее знания, опыт,
высокий интеллект, она обладает мудростью, позволяющей своим учени-
кам быть свободными в своих идеях и суждениях. Научная семья Евдокии
Ивановны многочисленна и разнообразна. Все ее «научные дети» помогают
и поддерживают друг друга. Ею непосредственно подготовлено около 30
кандидатов наук, которые работают в системе высшего профессионального
образования. Докторами наук среди них стало шестеро, надеемся, что это
число вырастет. Активно подрастает и третье поколение семьи, в нем уже
более десятка научных внуков и внучек Евдокии Ивановны, среди которых
есть и два доктора педагогических наук – Игорь Анатольевич Иванов (кон-
сультант В.В. Орлов) и Михаил Геннадиевич Макарченко (консультант
Н.С. Подходова).
На самом же деле число тех, кому активно помогала Евдокия Ивановна
своими советами при выполнении кандидатских или докторских исследо-
ваний гораздо больше. Не будем забывать, что долгое время Евдокия Ива-
новна была ученым секретарем Специализированного совета по защите
диссертаций на соискание ученой степени доктора наук по методике пре-
подавания математике. Это был период, когда подобных советов в Совет-
ском Союзе были единицы. Алексей Кириллович Артемов, Геннадий Ива-
нович Саранцев, Игорь Дмитриевич Пехлецкий, Валерий Александрович
Гусев – вот далеко не полный список тех, кто представлял свои работы на
нашей кафедре, либо в этом совете.
Хочется отметить большой вклад Евдокии Ивановны в развитии тео-
рии и методики обучения математике. Научные интересы Евдокии Иванов-
ны многообразны, и это неудивительно. Они трансформировались с тече-
нием времени. Изначально это были вопросы обучения математике в шко-
ле, затем, в большей мере в ленинградский период, Евдокия Ивановна мно-
го внимания уделяет проблемам обучения будущих учителей математики. В
1988 г под ее редакцией в издательстве «Просвещение» выходит учебное
пособие для педагогических вузов «Лабораторные и практические работы
по методике преподавания математики», направленные на формирование
методических умений учителя математики. Данных умений достаточно
много, но в качестве одного из ведущих профессиональных умений буду-
щего учителя математики Евдокия Ивановна выделила логико-
математический анализ содержания учебного материала, что позволило вы-
делить общие подходы в подготовке учителя к уроку, которыми должны
овладеть студенты. Евдокия Ивановна стала одним из инициаторов созда-
4
ния интегративного курса “Теоретические основы обучения математике”,
со временем переработанного в “Психологические основы обучения мате-
матике”. На рубеже веков Евдокия Ивановна приступает к разработке про-
блемы понимания математики, ее интересует психология математической
деятельности. И в настоящее время наш Учитель находится в напряженном
поиске, в философском осмыслении проблем математического образования.
В заключение отметим, что 85 – это всего лишь несколько раз по сем-
надцать. Жизнь продолжается!
Слово – ученикам.
Э.К. Брейтигам, доктор пед. наук, профессор (Барнаул)
Евдокия Ивановна главный человек в моей жизни после родителей. Она
просто моя духовная мама, которая не просто погрузила меня в мир науки "Ме-
тодика обучения математике", но и научила думать, работать, общаться. Она ока-
зала огромное влияние на моё восприятие музыки, живописи, литературы, при-
роды и людей. Благодарна судьбе за встречу и возможность долгого, но редкого
общения с ней. Спасибо за всё и дай бог ей здоровья.

О.А. Сотникова, доктор пед. наук, профессор (Ухта)
Евдокия Ивановна в моей жизни прежде всего олицетворяет образец про-
фессионально-педагогической культуры общения научного руководителя и уче-
ника. Умение выслушать, корректно и обоснованно оценить соображения собе-
седника является ее неотъемлемой чертой. Она – бескорыстный сеятель научных
идей, всегда в поиске новых открытий. И, что особенно ценно, имеет исключи-
тельную способность к вдохновению своих учеников. Все, что мне удалось в ме-
тодике обучения математике и теории профессионального образования, появи-
лось в результате энергетического заряда, полученного от общения с Евдокией
Ивановной. Трудно переоценить роль Евдокии Ивановны в моем общечеловече-
ском становлении: всегда сориентирует, как сконцентрировать свои силы в тех
или иных житейских проблемах. Мне редко везло в жизни, и только одно обстоя-
тельство я бы назвала Великой удачей своей жизни: встреча с Евдокией Иванов-
ной. Низкий ей поклон и самые теплые пожелания еще на многие-многие годы!

Е.Ф. Фефилова, кандидат педагогических наук, доцент (Архангельск)
Я часто говорю, что могу считать себя счастливой, только потому, что
встретился мне в жизни необыкновенный человек – Евдокия Ивановна Лященко.
Евдокия Ивановна для меня это не только мой научный руководитель, вдохнови-
тель на поиск и решение проблем, а в большей степени, близкий и родной чело-
век. Именно ее участие в моей жизни, ее мудрые советы и поддержка научили к
событиям в жизни относиться философски и уметь взглянуть на проблему с дру-
гой стороны. Меня всегда поражала и восхищала исключительная способность
Евдокии Ивановны не только инициировать новое, но и овладевать этим новым
профессионально, что требовало огромной самоорганизации, удивительной рабо-
тоспособности и настойчивости.
Я, увидев или услышав то, что наверняка заинтересует Евдокию Ивановну,
каждый раз думаю, как я расскажу об этом ей, как приеду в Санкт-Петербург, и
мы опять встретимся в ее очень уютной квартире и будем говорить о многом – о
5
науке, жизни, детях и внуках, семейных и профессиональных проблемах, об ис-
кусстве, и много-много еще о чем.
Я благодарна Евдокии Ивановне за ее теплое отношение ко мне, которое
просто бесценно. В своей жизни я часто, перед принятием решения, мысленно
веду разговор с Евдокией Ивановной, который помогает мне найти правильное
решение, и не только в профессиональной деятельности, но и в жизни.
Низкий поклон и самые наилучшие пожелания Евдокии Ивановне еще на
многие – многие лета!!!

О.В. Шереметьева, канд. пед. наук, доцент (Санкт-Петербург)
Я начала учиться у Евдокии Ивановны двадцать лет назад, став ее аспирант-
кой, и с тех пор знаю, какая это удача – быть уверенной в том, что где-то рядом
есть друг и советчик, мудрый и строгий собеседник, с которым можно обсудить и
научное, и общечеловеческое, и личное.
Рядом с Евдокией Ивановной невозможно не проникнуться уважением к
науке, вход в которую, по ее словам, существует «только с парадного крыльца»,
невозможно не начать ценить в людях «разбуженность к познанию».
Мне довелось стать одной из тех, кого Евдокия Ивановна «заразила» про-
блемой понимания математики. Разработанный ею в конце 90-ых годов спецкурс
по пониманию математики дал начало многим методическим исследованиям в
этом направлении.
Евдокия Ивановна, спасибо Вам за Вашу честность, неравнодушие и увле-
ченность делом!

Н.В. Быстрова, канд. пед. наук, доцент (Иркутск)
Когда я поступила в заочную аспирантуру на кафедру методики математики,
Евдокия Ивановна настояла на переводе в очную. Поэтому два года я имела воз-
можность жить в Ленинграде. Особенно запомнилось как заботилась о том, что-
бы мое пребывание в великом городе было связано с познанием его культурного
наследия. Несколько раз мы вместе с Евдокией Ивановной бывали на концертах
симфонической музыки в филармонии. Поэтому я могу теперь с гордостью гово-
рить, что видела, как дирижировал оркестром Альфред Шнитке, каким был вели-
кий композитор Георгий Свиридов. Евдокия Ивановна для меня человек, кото-
рый определил всю мою дальнейшую судьбу.

В.М. Туркина, доктор пед. наук, профессор (Петрозаводск)
Мне в жизни очень повезло – произошла встреча с Евдокией Ивановной. И
теперь у меня есть две мамы. Я даже не хочу расставлять приоритетов, они обе
для меня равнозначны, обеих я бесконечно люблю и часто вспоминаю. Они по-
хожи по мироощущению, характеру, способу решения проблем. Благодаря Евдо-
кии Ивановне, я стала лучше понимать не только свою маму, но и многих других
людей, мир стал другим.
Мы живем с Евдокией Ивановной в разных городах и разговор «в живую»
происходит, к сожалению, редко. Но я часто мысленно разговариваю с ней, об-
суждаю проблемы разного характера, советуюсь. И это здорово помогает не
впасть в уныние.
6
Можно вспомнить много разных событий, которые связаны с Евдокией
Ивановной. Часто всплывают в памяти лекции для студентов, на которых посча-
стливилось побывать. Их трудно назвать лекциями, описанными в учебниках пе-
дагогики. В основе содержания лекции был вопрос, ответ на который нужно бы-
ло найти. Вопрос всегда был неожиданный, вызывающий удивление. И тогда слу-
шатели превращались в исследователей, желающих найти ответ на поставленный
вопрос. А Евдокия Ивановна с помощью комментариев, примеров и контрприме-
ров, новых удивительных вопросов помогала найти и усвоить то новое знание,
которое было целью лекции. Но самое поразительное, несмотря на, казалось бы,
затратный по времени способ чтения лекции, Евдокия Ивановна всегда успевала
решить задачи, которые были ею поставлены.
Спасибо, Евдокия Ивановна, что вы у нас есть.

О.А. Ивашова, канд. пед. наук, доцент (С.-Петербург)
Сначала Евдокия Ивановна произвела на меня (тогда аспирантку) впечатле-
ние как незаурядная разносторонняя личность, соединяющая черты серьезного
ученого, знатока искусства, любителя путешествовать по России, порядочного,
бескорыстного человека, имеющего собственное мнение.
В последующие годы это впечатление усилилось, к уважению добавилась
любовь. Пришло понимание того, как Евдокия Ивановна относится к ученикам,
принимая нас душой, поддерживая, воспринимая нашу позицию, если удается ее
обосновать; как она умеет ценить время, находя время на содержательное обще-
ние, книги, передачи; как она аккуратна и неприхотлива в быту.
Годы общения показали, как Евдокия Ивановна заинтересованно работает,
ищет новое, не останавливаясь на достигнутом. Так, у нее менялось отношение к
основам, на которые, помимо предмета, опирается методика обучения математи-
ке. Сначала это была психология, затем методология и философия. Из этого соче-
тания родился интегрированный курс, позже – интерес к проблеме обеспечения
понимания математики школьниками, которую Евдокия Ивановна многие годы
разрабатывает и «заражает» ею своих учеников.
И сейчас, общаясь с любимым Учителем на разные темы – профессиональ-
ные, культурные, социальные, личные – мы чувствуем глубокую заинтересован-
ность, профессионализм, дружеское участие и поддержку.
Евдокия Ивановна! Примите слова благодарности и пожелание здоровья.

В.В. Крылов, канд. пед. наук, доцент (Санкт-Петербург)
Для значительного числа относительно молодых людей, которым посчаст-
ливилось близко общаться с Евдокией Ивановной, она стала духовной матерью.
Попадая в затруднительную ситуацию, думаешь: а что в этом случае сказала бы
Евдокия Ивановна?
Одна из педагогических заповедей, раскрывающих внутренний гуманизм
нашего общего Учителя, очень короткая: “Сеять, поливать и ждать”.
Для меня Евдокия Ивановна – не только научный авторитет, но и пример
разнообразия жизненных интересов, образец щепетильного отношения к собе-
седнику. Подобной истинной интеллигентности так не хватает в жизненной гон-
ке! Здоровья и бодрости Вам, уважаемая Мама!
7
РАЗДЕЛ II.
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

О.А. Саввина (Елец)
НОВЫЕ БИОГРАФИЧЕСКИЕ ФАКТЫ О ПЕДАГОГЕ-МАТЕМАТИКЕ
Р.В. ГАНГНУСЕ
(К 130-летию со дня рождения)

Судьба Рудольфа Вильгельмовича Гангнуса (1883–1948) является од-
ной из самых загадочных и драматичных в истории советского школьного
математического образования.
На волне революционных событий начался стремительный взлет его
служебной карьеры, который продолжался почти 20 лет. В 1933 году вы-
шел в свет учебник геометрии, написанный им в соавторстве с
Ю.О. Гурвицем. Однако спустя три года учебник неожиданно оказался под
прицелом нещадной критики, последствия которой получили трагическую
развязку – в 1938 г. Р.В. Гангнус был арестован и осужден за «контррево-
люционную агитацию и пропаганду».
Попытка осмысления проблемы внедрения первых стабильных совет-
ских учебников математики (в том числе и учебника Гурвица, Гангнуса)
была предпринята в работе [2], в которой приведены фрагменты резолюции
группы математиков, объявившей эти учебники негодными и призываю-
щей «установить всех лиц, виновных в этом преступлении перед советской
школой» [2, с.183].
Истоки, содержание и последствия этой критики детально освещены в
статье В.М. Бусева, опубликованной в журнале «Математика в школе» в
2010 году, то есть спустя почти 80 лет после произошедших событий. В
этой же публикации приведены краткие биографические данные о
Р.В. Гангнусе:
«Рудольф Вильгельмович Гангнус родился в 1883 г. в семье рабочего стекольного
завода в Тальсенском уезде Курляндской губернии. Окончил гимназию в Риге и физико-
математический факультет Московского университета (в 1910 г.). С 1906 г. преподавал
сначала в реальном училище, а позже в двух московских гимназиях. Участвовал в рабо-
те II Всероссийского съезда преподавателей математики (1913 г.).
С 1917 г. был председателем школьного совета 17-й трудовой школы, инструкто-
ром МОНО и Наркомпроса, затем – заведующим Отделом Снабжения Наркомпроса, за-
местителем управделами Коминтерна, проректором III Московского Практического ин-
ститута народного образования. С 1922 г. преподавал на рабфаках им.М.Н.Покровского
и им. В.И.Ленина, с 1932 г. – на рабфаке ОГПУ. Вел методическую работу по составле-
нию программ для рабфаков, участвовал в съездах работников просвещения» [1, c.68].
И это, к сожалению, все. Причем в качестве источника даже этих
скромных сведений автор статьи В.М. Бусев указал таинственный семей-
ный архив.
8
Благодаря обнаруженным недавно документам [3], эту сухую биогра-
фическую справку можно дополнить рядом достоверных и живых фактов.
Причем особенно ценно то, что новый источник является официальным и
более доступным, чем семейный архив. Речь идет о Деле №70, хранящемся
в Фонде 459 «Канцелярия попечителя Московского учебного округа» Цен-
трального исторического архива Москвы (ЦИАМ). В нем отложился «Фор-
мулярный список Р.В.Гангнуса», содержащий эксклюзивные факты о его
происхождении, семье, вероисповедании, продвижении по службе.
Ознакомившись с этим документом, удалось установить, что Рудольф
Вильгельмович Гангнус, родившийся 20 февраля 1883 г., по вероисповеда-
нию был католиком, происходил из почетных граждан Гершенгофской ко-
лонии Венденского уезда Лифляндской губернии.
Супруга Гангнуса – Анна Васильевна (в девичестве Плотникова) – бы-
ла на два года моложе Рудольфа Вильгельмовича, происходила из семьи
врача и, в отличие от мужа, была православной. В 1910 году в их семье
появился первенец Александр.
Университет Р.В. Гангнус окончил с дипломом I степени (можно ска-
зать, с отличием) и выдержал специальное испытание на звание домашнего
учителя.
По окончании университета преподавал математику в частной про-
гимназии в Москве. В 1912 г. он был утвержден в звании учителя гимназии
и должности учителя математики Московского реального училища Това-
рищества педагогов [4].
Эти хотя и небольшие, но важные уточнения биографии педагога-
математика дают ориентиры для продолжения исследовательского поиска
дальше. Действительно, в том же архиве (ЦИАМ) существует отдельный и
малоизученный фонд Московского реального училища Товарищества педа-
гогов (Ф. 150), в котором Р.В. Гангнус работал в 1910-х годах. Представля-
ется, что исследование документов этого фонда позволит дополнить био-
графическую справку о Р.В. Гангнусе более детальными сведениями, ка-
сающимися его педагогической деятельности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бусев В.М. «Репрессированные» школьные учебники // Математика в школе.
2008. №10. С.63–70.
2. Колягин Ю.М., Саввина О.А., Тарасова О.В. Русская школа и математическое
образование: Наша гордость и наша боль. Ч. II. Орел, 2007.
3. Саввина О.А. Формулярные списки педагогов-математиков Московского учеб-
ного округа в фондах Центрального исторического архива Москвы // Вестник Елецкого
государственного университета им. И.А.Бунина. Вып. 32: Серия «Педагогика» (История
и теория математического образования). Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2012. С.58–67.
4. Центральный исторический архив Москвы (ЦИАМ). Ф.459. Оп.17. Д.70. Л.20–
22.

9
И.А. Марушкина (Ефремов)
ПАВЕЛ АФАНАСЬЕВИЧ ХРИСТИЧ – УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ
НИКОЛАЕВСКОГО КАВАЛЕРИЙСКОГО УЧИЛИЩА

Полный послужной список. Павел Афанасьевич Христич родился 12
мая 1836 г. Родом он был из дворян С.-Петербургской губернии. Воспиты-
вался в Константиновском кадетском корпусе. 16 июня 1856 г. поступил
прапорщиком на службу в лейб-гвардии Литовский полк, с прикомандиро-
ванием к Михайловской артиллерийской академии. 7 июня 1861 г. прико-
мандирован ко второму Кадетскому корпусу в должности репетитора по
предмету артиллерия. 30 августа 1862 г. ему было присвоено звание подпо-
ручика, 19 мая 1863 г. – поручика.
13 сентября 1863 г. он был переведен с тем же званием в Николаевское
училище гвардейских юнкеров. Высочайшим приказом от 27 марта 1866 г.
П.А. Христич произведен в штабс-капитаны. 27 марта 1866 г. награжден
орденом Святого Станислава 3 степени. 2 сентября 1864 г. был назначен
воспитателем пансиона. 31 марта 1868 г. награжден орденом Святой Анны
3 степени. Высочайшим приказом от 30 августа 1869 г. произведен в капи-
таны. 17 апреля 1871 г. награжден орденом Святого Станислава 2 степени.
Приказом от 17 августа 1871 г. за №32 П.А. Христич переведен в
штатные преподаватели. Высочайшим приказом от 11 сентября 1871 г. был
переведен в Николаевское кавалерийское училище подполковником. 16 ап-
реля 1872 г. награжден орденом Святого Станислава 2 степени с импера-
торской короною. 30 августа 1872 г. высочайшим приказом произведен в
полковники. 30 апреля 1874 г. награжден орденом Святой Анны 2 степени.
Со 2 июля по 20 августа 1845 г. П.А. Христич командирован в г.
Старую Руссу для надзора за воспитанниками военных учебных заведений.
1 января 1878 г. награжден орденом Святого Владимира 4 степени.
Предписанием Главного управления военных учебных заведений от 8
декабря 1882 г. за №15950 за выслугу лет по учебной части (25 лет службы)
стал получать пенсию в размере 743 руб. 43 коп. в год. 15 мая 1883 г. был
награжден орденом Святого Равноапостольного князя Владимира. 28
января 1888 г. высочайшим приказом П.А. Христич назначен совещатель-
ным членом Артиллерийского комитета Главного артиллерийского
управления с оставлением в занимаемой должности. 29 января 1893 г. ему
была назначена добавочная пенсия к 892 руб. 11 коп. еще 148 руб. 68 коп.
Семейное положение: с 22 февраля 1861 г. женат на дочери отставного
титулярного советника Григорьева, девице Людмиле Константиновне. 10
сентября 1871 г. у них родился сын Дмитрий. П.А. Христич усыновил вос-
питанника Сергея, родившегося 20 июня 1868 г.
П.А. Христич. Фрагмент урока геометрии с применением катехи-
зического метода: «…Преподават. Какое отношение существует между
хордами и дугами одного и того же круга, А?
10