2. Manfred Stoll, Introduction to Real Analysis, Addison Wesley

69 Pages·2011·0.57 MB·English

Math201(IntroductiontoAnalysis) Fall2004-2005
Instructor: Dr. KinY.Li
Office: Room3471 OfficePhone: 23587420 e-mailaddress: [email protected]
OfficeHours: Tu.3:30pm-4:30pm(orbyappointments)
Prerequisite: A-levelMathorOneVariableCalculus
WebsiteforLectureNotesandPracticeExercises: http://www.math.ust.hk/ makyli/UG.html
(cid:0)
GradeScheme: Homeworks(4%),TutorialPresentations(6%),Midterm(40%),FinalExamination(50%)
All records of grades will be put on the website http://grading.math.ust.hk/checkgrade/ as soon as they are
available. Thiscourseisessentiallygradedbycurvewithoneexception,namelystudentswhoachieve40%or
lessof theoverallgradewill failthecourse. Students whotakethesame midtermwill begrouped underthe
samecurve.
Students should makecopies of homeworksbefore submittingtheoriginals. In case homeworksare not
received,studentswillberequiredtoresubmitcopieswithinashortperiodoftime(maybelessthanaday).
Fortutorialpresentations,studentswillformgroups(of1to3students)andpresentsolutionstoassignedproblems
inthetutorialsessions. Allmembersofagroupmustattendthesessionstoassistinansweringpossiblequestionsfrom
presentations. Markswillbedeductedforfailuretopresentsolutionsorforabsenceinsupportinghis/hergroup.
CourseDescription: This is the first of tworequired courses on analysisfor Math majors. It is to be followedby
Math 301 (Real Analysis). This course will focus on the proofs of basic theorems of analysis, as appeared in one
variable calculus. Along the way to establish the proofs, many new concepts will be introduced. These include
countability,sequencesandseriesofnumbers,offunctions,supremum/infimum,Cauchycondition,Riemannintegrals
andimproperintegrals. Understandingthemandtheirpropertiesareimportantforthedevelopmentofthepresentand
furthercourses.
Textbooks:
KennethA.Ross,ElementaryAnalysis: TheTheoryofCalculus,Springer-Verlag,1980.
RobertBartleandDonaldSherbert,IntroductiontoRealAnalysis,3rded.,Wiley,2000.
Rossisforstudentswhoaretakingthiscourseforthefirsttime. StudentswhoarerepeatingmayuseeitherRoss
orBartleandSherbert.
References:
1. J.A.Fridy,IntroductoryAnalysis 2nded.,AcademicPress,2000.
(cid:1)
2. ManfredStoll,IntroductiontoRealAnalysis,AddisonWesley,1997.
3. WalterRudin,PrinciplesofMathematicalAnalysis,3rded.,McGraw-Hill,1976.
4. TomApostol,MathematicalAnalysis,2nded.,Addison-Wesley,1974.
*5. ChineseSolutionManualtoTomApostol’sMathematicalAnalysis,2nded.
Reminders: Studentsarehighlyencouragedtocometoofficehoursforconsultation. Thisisadifficultcoursefor
many, but not all students. Although there are lecture notes, students should attend all lectures and tutorials as
lecturesnotesareonlybriefrecordsofmaterialscoveredinclass,whichmaycontaintypographicalerrors. Ofcourse,
questionsfromstudentsandanswersfrominstructorsorotherdigressionswillnotberecorded. Studentsareadvised
totakeyourownnotes. Allmaterialspresentedinlecturesandtutorialsaswellasproperclassconductarethe
students’ responsibility. Theinstructorreserves the right to make any changes to the coursethroughout the
semester. Theonlywaytosucceedinthiscourseistodothework.
1
ObjectivesoftheCourse
Theobjectivesofthecoursearetolearnanalysisandlearnproofs.
Questions: Whatisanalysis? Howisitdifferentfromotherbranchesofmathematics?
Analysis is the branch of mathematics that studies limit and concepts derived from limit, such as continuity,
differentiation and integration, while geometry deals with figures, algebra deals with equations and inequalities
involvingaddition,subtraction,multiplication,divisionandnumbertheorystudiesintegers.
When we try to solve problems involving real or complex numbers, such as finding roots of polynomials or
solvingdifferentialequations,wemaynotgettherightanswersthefirsttime. However, wecangetapproximations
andthelimitsoftheseapproximations,wehope,willgiveustherightanswers. Atleast,wecanknowsolutionsexist
eventhoughwemaynotbeabletowritethemexplicitly.
Problems involving integers can be much harder since integers are discrete, i.e. there are minimum distance
separatingdistinctintegerssothatonecannotfindintegersarbitrarilyclosetoanotherinteger.
2x x2
(cid:0)
Trytoseeifthereisarealsolutiontotheequation 987654321 Thentrytoseeifthereisaninteger
(cid:2)
4x4 (cid:1) 1 (cid:3)
solution. Whatarethedifferencesinthewayyousolvethesetwoproblems?
Question: Whyshouldwelearnproofs?
Astatementistruenotbecauseyourteachertellsyouitistrue. Ateachercanmakemistakes! Therewerefamous
mathematicianswhomadeconjecturesthatwerediscoveredtobewrongyearslater. Howcanwebecertainthefacts
welearnedaretrue? Howcanwejudgewhenmorethanoneproposedsolutionsaregiven,whichiscorrect?
x2sin 1
Supposewe wanttofind lim x Sincethe numeratoris between x2 and x2 thenumeratorhaslimit0.
(cid:0)
x 0 sinx (cid:3) (cid:1)
(cid:4) x2sin1 2xsin1 cos1
The denominator also has limit 0. So, by l’Hopital’srule, lim x lim x (cid:0) x However, the new
(cid:2)
x 0 sinx x 0 cosx (cid:3)
numeratordoesnothavealimitbecausecos 1 hasnolimitas(cid:4) x 0 whilet(cid:4)henewdenominatorhaslimit1. Sothe
x (cid:5) (cid:1)
limitoftheoriginalproblemdoesnotexist. Isthisreasoningcorrect? No. Whereisthemistake?
Sometimesweexplainfactsbyexamplesorpictures.Forinstance,thestatementthateveryodddegreepolynomial
withrealcoefficientsmusthaveatleastonerootisoftenexplainedbysomeexamplesorsomepictures. Inourlifetime,
wecanonlydofinitelymanyexamplesanddrawfinitelymanypictures. Shouldwebelievesomethingistruebyseeing
afewpicturesorexamples?
Draw the graphs of a few continuous functions on [0 1] Do you think every continuous function on [0 1]
(cid:1) (cid:3) (cid:1)
is differentiable in at least one point on 0 1 ? Or do you think there exists a continuous function on [0 1] not
(cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:1)
differentiableatanypointof 0 1 ?
(cid:6) (cid:1) (cid:7)
Consider the function f n (cid:2) n2 (cid:0) n (cid:1) 41 Note f 1 (cid:2) 41 f 2 (cid:2) 43 f 3 (cid:2) 47 f 4 (cid:2) 53 f 5 (cid:2)
(cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:7)
61 f 6 71 f 7 83 f 8 97 f 9 113 f 10 131areprimenumbers. Shouldyoubelievethat f n
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
(cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
isaprimenumberforeverypositiveintegern? Whatisthefirstnthat f n isnotprime?
(cid:6) (cid:7)
In order to have confident, you have to be able to judge the facts you learned are absolutely correct. Almost
correctisnotgoodenoughinmathematics.
2
Chapter1. Logic
Toreasoncorrectly, wehave tofollowsomerules. Theserulesofreasoningarewhatwecalledlogic. Wewill
onlyneedafewoftheserules,mainlytodealwithtakingoppositeofstatementsandtohandleconditionalstatements.
Wewillusethesymbol (cid:0) (or )todenotetheword“not”. Also,wewillusethesymbol(cid:1) todenote“forall”,
(cid:0)
“forany”,“forevery”. Similarly,thesymbol willdenote“thereis(atleastone)”,“thereexists”,“thereare(some)”
(cid:2)
andusuallyfollowedby“suchthat”. Thesymbols(cid:1) and arecalledquantifiers.
(cid:2)
Negation. Belowwewilllookatrulesofnegation(i.e. takingopposite). Theyareneededwhenwedoindirect
proofs(orproofsbycontradiction). Foranyexpression p wehave p p
(cid:0) (cid:0) (cid:2)
(cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:3)
p q
Examples. (1)
expression: (cid:3)x(cid:4)(cid:6)(cid:5) 0(cid:7) and (cid:3)x(cid:4)(cid:6)(cid:5) 1(cid:7)
(cid:8) (cid:9)
oppositeexpression: x 0 or x 1
(cid:10) (cid:11)
rule: p and q p or q
(cid:0) (cid:2) (cid:0) (cid:0)
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
(2)
expression: x 0 or x 1
(cid:9) (cid:8)
oppositeexpression: x 0 and x 1
(cid:11) (cid:10)
rule: p or q p and q
(cid:0) (cid:2) (cid:0) (cid:0)
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
(3)
statement: Foreveryx 0 x hasasquareroot. (True)
(cid:11) (cid:1)
quantifiedstatement: (cid:1) x 0 x hasasquareroot
(cid:11) (cid:6) (cid:7) (cid:3)
oppositestatement: Thereexistsx 0suchthatx doesnothaveasquareroot. (False)
(cid:11)
quantifiedoppositestatement: x 0 x hasasquareroot
(cid:0)
(cid:2) (cid:11) (cid:6) (cid:7) (cid:3)
(4) statement: Foreveryx 0 thereis y 0suchthat y2 x (True)
(cid:2)
(cid:11) (cid:1) (cid:11) (cid:3)
quantifiedstatement: (cid:1) x 0 y 0 y2 (cid:2) x
(cid:11) (cid:1) (cid:2) (cid:11) (cid:6) (cid:7) (cid:3)
oppositestatement: Thereexistsx 0suchthatforevery y 0 y2 x (False)
(cid:11) (cid:11) (cid:1) (cid:2)(cid:12) (cid:3)
quantifiedoppositestatement: x 0 (cid:1) y 0 (cid:0) y2 (cid:2) x
(cid:2) (cid:11) (cid:1) (cid:11) (cid:6) (cid:7) (cid:3)
Fromexamples(3)and(4),weseethattherulefornegatingstatementswithquantifiersisfirstswitchevery
(cid:1) to andevery to(cid:1) ,thennegatetheremainingpartofthestatement.
(cid:2) (cid:2)
If-thenStatements. If-thenstatementsoccurfrequentlyinmathematics. Wewillneedtoknowsomeequivalent
waysofexpressinganif-thenstatementtodoproofs. Thestatement“if p thenq”mayalsobestatedas“pimpliesq”,
(cid:1)
“ponlyifq”,“p issufficientforq”,“q isnecessaryfor p”andiscommonlydenotedby“p q”. Forexample,
the statement“if x (cid:2) 3and y (cid:2) 4 then x2 (cid:1) y2 (cid:2) 25”may alsobe stated as“x (cid:2) 3 and y(cid:13)(cid:15)(cid:2)(cid:14) 4 aresufficient for
x2 (cid:1) y2 (cid:2) 25”or“x2 (cid:1) y2 (cid:2) 25is(cid:1)necessaryforx (cid:2) 3and y (cid:2) 4”.
Example. (5) statement: Ifx 0 then x (cid:2) x (True)
(cid:11) (cid:1) (cid:16) (cid:16) (cid:3)
oppositestatement: x 0 and x x (False)
(cid:11) (cid:16) (cid:16) (cid:2)(cid:12) (cid:3)
rule: p q p and q
(cid:0) (cid:2) (cid:0)
(cid:6) (cid:13)(cid:15)(cid:14) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
Remark. Note
p q p q
(cid:2) (cid:0) (cid:0)
(cid:13)(cid:15)(cid:14) (cid:6) (cid:6) (cid:13)(cid:15)(cid:14) (cid:7) (cid:7)
p and q
(cid:2) (cid:0) (cid:0)
(cid:6) (cid:6) (cid:7) (cid:7)
p or q
(cid:2) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
p or q
(cid:2) (cid:0)
(cid:6) (cid:7) (cid:3)
3
Forthestatement“if p thenq” p q therearetworelatedstatements: theconverseofthestatementis“if
(cid:1) (cid:6) (cid:13)(cid:15)(cid:14) (cid:7) (cid:1)
q,then p”(q p)andthecontrapositiveofthestatementis“if q then p ”( q p).
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:13)(cid:15)(cid:14) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:13)(cid:15)(cid:14)
Examples. (6) statement: Ifx 3 thenx2 9 (True)
(cid:2) (cid:0) (cid:2)
(cid:1) (cid:3)
converse: Ifx2 9 thenx 3 (False,asx maybe3.)
(cid:2) (cid:2) (cid:0)
(cid:1) (cid:3)
contrapositive: Ifx2 9 thenx 3 (True)
(cid:2)(cid:12) (cid:1) (cid:2)(cid:12) (cid:0) (cid:3)
(7) statement: x 3 2x 6 (True)
(cid:2) (cid:0) (cid:2) (cid:0)
(cid:13)(cid:15)(cid:14)
converse: 2x 6 x 3 (True)
(cid:2) (cid:0) (cid:2) (cid:0)
(cid:13)(cid:15)(cid:14)
contrapositive: 2x 6 x 3 (True)
(cid:2)(cid:12) (cid:0) (cid:2)(cid:12) (cid:0)
(cid:13)(cid:15)(cid:14)
(8) statement: If x 3 thenx 3 (False,asx maybe3.)
(cid:2) (cid:2) (cid:0)
(cid:16) (cid:16) (cid:1) (cid:3)
converse: Ifx 3 then x 3 (True)
(cid:2) (cid:0) (cid:2)
(cid:1) (cid:16) (cid:16) (cid:3)
contrapositive: Ifx 3 then x 3 (False,asx maybe3.)
(cid:2)(cid:12) (cid:0) (cid:1) (cid:16) (cid:16) (cid:2)(cid:12) (cid:3)
Remarks. Examples (6) and (7) showed thatthe converse of an if-then statementis not the sameas the statement
nor the opposite of the statement in general. Examples (6), (7) and (8) showed that an if-then statement and its
contrapositiveareeitherbothtrueorbothfalse. Infact,thisisalwaysthecasebecausebytheremarkonthelastpage,
q p q or p
(cid:0) (cid:0) (cid:2) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:6) (cid:7) (cid:13)(cid:15)(cid:14) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
q or p
(cid:2) (cid:0)
(cid:6) (cid:7)
p or q
(cid:2) (cid:0)
(cid:6) (cid:7)
p q
(cid:2)
(cid:13)(cid:15)(cid:14) (cid:3)
Soanif-thenstatementanditscontrapositivestatementareequivalent.
Finally,weintroducetheterminology“pifandonlyifq”tomean“if p thenq”and“ifq then p”. Thestatement
(cid:1) (cid:1)
“pifandonlyifq”isthesameas“pisnecessaryandsufficientforq”. Weabbreviate“pifandonlyifq”by“p (cid:1)
(cid:14)
q”. So p (cid:1) q means p q andq p”. Thephrase“ifandonlyif”isoftenabbreviatedas“iff”.
(cid:14) (cid:13)(cid:15)(cid:14) (cid:13)(cid:15)(cid:14)
Caution! Note (cid:1)(cid:3)(cid:2) (cid:1)(cid:5)(cid:4) (cid:2) (cid:1)(cid:5)(cid:4)(cid:15)(cid:1)(cid:3)(cid:2) and (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:1) but (cid:1)(cid:3)(cid:2) (cid:2) (cid:4) (cid:2)(cid:12) (cid:2) (cid:4)(cid:15)(cid:1)(cid:3)(cid:2) (cid:3) For example, “every studentis assigned a
number”isthe sameas“(cid:1) student, numbersuchthatthestudentisassignedthenumber.” Thisstatementimplies
(cid:2)
differentstudentsmaybeassignedpossiblydifferentnumbers. However,ifweswitchtheorderofthequantifiers,the
statementbecomes“ numbersuchthat(cid:1) student,thestudentisassignedthenumber.” Thisstatementimpliesthere
(cid:2)
isanumberandeverystudentisassignedthatsamenumber!
4
Chapter2. Sets
Toreadandwritemathematicalexpressionsaccuratelyandconcisely, wewillintroducethelanguageofsets. A
setisacollectionof“objects”(usuallynumbers,orderedpairs,functions,etc.) IfobjectxisinasetS,thenwesayxis
anelement(oramember)ofSandwritex S Ifx isnotanelementofS,thenwewritex S Asethavingfinitely
(cid:0) (cid:3) (cid:0)(cid:12) (cid:3)
manyelementsiscalledafiniteset,otherwiseitiscalledaninfinite set. Theemptysetisthesethavingnoobjectsand
isdenotedby(cid:1)
(cid:3)
Asetmaybeshownbylistingitselementsenclosedinbraces(eg. 1 2 3 isasetcontainingtheobjects1 2 3 the
(cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
positiveinteger (cid:2) 1 2 3 ,theinteger (cid:2) (cid:0) 2 (cid:0) 1 0 1 2 ,theemptyset (cid:1) (cid:2) )orbydescription
enclosedinbrac(cid:4)es(eg(cid:2). t(cid:1)he(cid:1) ra(cid:1)ti(cid:3)o(cid:3) n(cid:3)(cid:3)alnumbers (cid:5) (cid:2)m(cid:3) (cid:3):(cid:3) m(cid:1) (cid:1) n(cid:1) (cid:1) (cid:1) t(cid:1)h(cid:3)e(cid:3) r(cid:3)e(cid:3) alnumbers x :(cid:2)(cid:6)(cid:3)x isarealnumber
(cid:7) (cid:2) (cid:2) n (cid:0)(cid:8)(cid:5) (cid:1) (cid:0)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:3) (cid:1) (cid:10) (cid:2) (cid:2) (cid:3)
andthecomplexnumbers (cid:2) x (cid:1) iy : x y )Indescribingsets,theusualconventionistoputtheformofthe
(cid:11) (cid:2) (cid:1) (cid:0)(cid:8)(cid:10)(cid:9)(cid:3) (cid:3)
objectsontheleftsideofthecolonandtostatetheconditionsontheobjectsontherightsideofthecolon. Itisalso
commontouseaverticalbarinplaceofcoloninsetdescriptions.
Examples. (i)Theclosedintervalwithendpointsa bis[a b] x : x and a x b
(cid:2)
(cid:1) (cid:1) (cid:2) (cid:0)(cid:12)(cid:10) (cid:10) (cid:10) (cid:3) (cid:3)
(ii) Thesetofsquarenumbersis 1 4 9 16 25 n2 :n
(cid:2)
(cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:2) (cid:0)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:3) (cid:3)
(iii) Thesetofallpositiverealnumbersis x : x and x 0 (Ifwewanttoemphasizethisisasubset
(cid:2)
(cid:10)(cid:14)(cid:13) (cid:2) (cid:0)(cid:8)(cid:10) (cid:8) (cid:3) (cid:3)
of wemaystressx isrealintheformoftheobjectsandwrite x : x 0 Ifnumbersarealways
(cid:2)
(cid:10) (cid:1) (cid:10)(cid:14)(cid:13) (cid:2) (cid:0)(cid:12)(cid:10) (cid:8) (cid:3) (cid:3)
takentomeanrealnumbers,thenwemaywritesimply x : x 0 )
(cid:2)
(cid:10)(cid:14)(cid:13) (cid:2) (cid:8) (cid:3) (cid:3)
(iv) Thesetofpoints(ororderedpairs)ontheline withequationy mx is x mx :x
m (cid:2)
(cid:15) (cid:2) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:0)(cid:12)(cid:10)(cid:9)(cid:3) (cid:3)
For sets A B wesay A is asubset of B (or B contains A) iffevery elementof A is also an elementof B In
(cid:1) (cid:1) (cid:3)
that case, we write A B (For the caseof the empty set, wehave (cid:1) S for every set S ) Two sets A and B are
(cid:16) (cid:3) (cid:16) (cid:3)
equalifand onlyifthey havethesameelements(i.e. A B means A B and B A) So A B ifandonly if
(cid:2) (cid:2)
(cid:16) (cid:16) (cid:3)
(x A (cid:1) x B). If A B and A B thenwesay Aisapropersubsetof B andwrite A B (Forexample,
(cid:0) (cid:14) (cid:0) (cid:16) (cid:2)(cid:12) (cid:1) (cid:17) (cid:3)
if A 1 2 B 1 2 3 C 1 1 2 3 then A B is true, but B C is false. In fact, B C Repeated
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
(cid:2) (cid:1) (cid:3) (cid:1) (cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:1) (cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:1) (cid:17) (cid:17) (cid:3)
elementsarecountedonlyonetimesothatC has3elements,not4elements.)
For aset S wecancollect allitssubsets. This iscalledthepower set of S and isdenotedby P S or 2S For
(cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:3)
examples, P (cid:1) (cid:2) (cid:1) P 0 (cid:2) (cid:1) 0 and P 0 1 (cid:2) (cid:1) 0 1 0 1 For aset withn elements,itspower
set will have(cid:6)2n(cid:7) elem(cid:2) e(cid:3)n(cid:1) t. (cid:6)(cid:6)T(cid:2) h(cid:3)i(cid:7)s is t(cid:2)he(cid:1)(cid:18)r(cid:2)ea(cid:3)(cid:6)s(cid:3)onfor t(cid:6)(cid:6)h(cid:2)e(cid:1)alt(cid:3)e(cid:7) rnati(cid:2)ve(cid:1)(cid:18)(cid:2)no(cid:3)t(cid:1)(cid:18)a(cid:2)tio(cid:3)n(cid:1)(cid:18)(cid:2)2S(cid:1) fo(cid:3)(cid:6)(cid:3)r(cid:3) the powerset of S Power set is one
(cid:3)
operationofaset. Thereareafewothercommonoperationsofsets.
Definitions. Forsets A A A
1 2 n
(cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:1) (cid:1)
(i) theirunionis A A A x :x A orx A or orx A
1 2 n (cid:2) 1 2 n
(cid:19) (cid:19)(cid:21)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:19) (cid:2) (cid:0) (cid:0) (cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20) (cid:0) (cid:3) (cid:1)
(ii) theirintersectionis A A A x :x A andx A and andx A
1 2 n (cid:2) 1 2 n
(cid:23) (cid:23)(cid:21)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:23) (cid:2) (cid:0) (cid:0) (cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20) (cid:0) (cid:3) (cid:1)
(iii) theirCartesianproductis
A A A x x x :x A andx A and andx A
1 2 n (cid:2) 1 2 n 1 1 2 2 n n
(cid:24) (cid:24)(cid:25)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:26)(cid:24) (cid:2) (cid:6) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:1) (cid:7) (cid:0) (cid:0) (cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20) (cid:0) (cid:3) (cid:1)
(iv) thecomplementof A in A is A A x :x A andx A
2 1 1 (cid:27) 2 (cid:2) (cid:2) (cid:0) 1 (cid:0)(cid:12) 2(cid:3) (cid:3)
Examples. (i) 1 2 3 3 4 1 2 3 4 1 2 3 2 3 4 2 3 1 2 3 2 3 4 1
(cid:2) (cid:2) (cid:2)
(cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:19) (cid:2) (cid:1) (cid:3) (cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:1)(cid:28)(cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:23) (cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:2) (cid:1) (cid:3) (cid:1)(cid:29)(cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:27) (cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:2) (cid:3) (cid:3)
(ii) [ 2 4] 1 2 3 4 [0 2] [1 5] [4 6] [0 6]
(cid:0) (cid:2) (cid:2)
(cid:1) (cid:23) (cid:4) (cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:19) (cid:1) (cid:19) (cid:1) (cid:1) (cid:3)
(iii) [0 7] n2 :n 0 1 2 3 4 5 6 7 1 4 9 16 25 0 2 3 5 6 7
(cid:2) (cid:2)
(cid:6) (cid:1) (cid:23) (cid:5) (cid:7) (cid:27) (cid:2) (cid:0)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:3) (cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:27) (cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3)
(iv) x y z :x y z a b :aisrationalandbisirrational
(cid:2) (cid:2)
(cid:10) (cid:24) (cid:10) (cid:24) (cid:10) (cid:2) (cid:6) (cid:1) (cid:1) (cid:7) (cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:12)(cid:10)(cid:9)(cid:3) (cid:1)(cid:30)(cid:7) (cid:24) (cid:6)(cid:31)(cid:10) (cid:27) (cid:7) (cid:7) (cid:2) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:3) (cid:3)
Remarks. (i)Forthecaseoftheemptyset,wehave
A (cid:1) (cid:2) A (cid:2) (cid:1) A A (cid:1) (cid:2) (cid:1) (cid:2) (cid:1) A A (cid:1) (cid:2) (cid:1) (cid:2) (cid:1) A A (cid:1) (cid:2) A and (cid:1) A (cid:2) (cid:1)
(cid:19) (cid:19) (cid:1) (cid:23) (cid:23) (cid:1) (cid:24) (cid:24) (cid:1) (cid:27) (cid:27) (cid:3)
5
(ii) Thenotionsofunion,intersectionandCartesianproductmaybeextendedtoinfinitelymanysetssimilarly. The
unionisthesetofobjectsinatleastoneofthesets. Theintersectionisthesetofobjectsineveryoneofthesets.
TheCartesianproductisthesetoforderedtuplessuchthatthei-thcoordinatemustbelongtothei-thset.
n
(cid:1)
(iii) Theset A A A maybewrittenas A Ifforeverypositiveintegerk thereisaset A thenthe
1 2 n k k
(cid:19) (cid:19) (cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:18)(cid:19) (cid:3) (cid:1) (cid:1)
k 1
(cid:2)
(cid:1) (cid:1)
notation A A A maybeabbreviatedas A or A Ifforevery x S thereisaset A then
1 (cid:19) 2 (cid:19) 3 (cid:19) (cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20) (cid:3) k k(cid:3) (cid:0) (cid:1) x(cid:1)
k(cid:2) 1 (cid:1) k(cid:4) (cid:4)
theunionofallthesets A ’sforall x S isdenotedby A Similarabbreviationsexist forintersectionand
x x
(cid:0) (cid:3)
x S
Cartesianproduct. (cid:4)
Examples. (i) [1 2] [2 3] [3 4] [4 5] (cid:2) [1 (cid:1)(cid:6)(cid:5) (cid:2)
(cid:6) (cid:1) (cid:19) (cid:1) (cid:19) (cid:1) (cid:19) (cid:1) (cid:19)(cid:21)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:7) (cid:23) (cid:5) (cid:1) (cid:7) (cid:23) (cid:5) (cid:4) (cid:3)
(cid:8) 1 (cid:8) 1 (cid:8) 1 (cid:8) 1
(ii) 0 1(cid:1) (cid:2) [0 2 0 1 0 1 0 1 (cid:2) [0 1]
(cid:7) (cid:1) n (cid:1) (cid:7) (cid:23) (cid:1) 2 (cid:23) (cid:1) 3 (cid:23) (cid:1) 4 (cid:23)(cid:21)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20) (cid:1) (cid:3)
n (cid:9) (cid:9) (cid:9) (cid:9)
(cid:4) (cid:4)
(iii) Foreveryk let A 0 1 then
k (cid:2)
(cid:0)(cid:9)(cid:4) (cid:1) (cid:2) (cid:1) (cid:3) (cid:1)
A A A x x x : eachx is0or1fork 1 2 3
1 2 3 (cid:2) 1 2 3 k (cid:2)
(cid:24) (cid:24) (cid:24)(cid:25)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20) (cid:2) (cid:6) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3)(cid:7) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:3)
(iv) Foreachm let bethelinewithequationy mxontheplane,then (cid:1) 2 0 y : y y 0
(cid:0)(cid:12)(cid:10) (cid:1) (cid:15) m (cid:2) (cid:15) m (cid:2) (cid:10) (cid:27) (cid:2) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:0)(cid:12)(cid:10) (cid:1) (cid:2)(cid:12) (cid:3)
m
(cid:4) (cid:10)
and 0 0
m (cid:2)
(cid:7) (cid:15) (cid:2) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:3) (cid:3)
m
(cid:4) (cid:10)
Weshallsaythatsetsaredisjointifftheirintersectionistheemptyset. Also,wesaytheyaremutuallydisjointiff
theintersectionofeverypairofthemistheemptyset. Arelationonaset E isanysubsetof E E Thefollowingis
animportantconceptthatisneededinalmostallbranchesofmathematics. Itisatooltodivide((cid:24)orpa(cid:3) rtition)thesetof
objectsweliketostudyintomutuallydisjointsubsets.
Definition. Anequivalencerelation Ronaset E isasubset R of E E suchthat
(cid:24)
(a) (reflexiveproperty)foreveryx E x x R
(cid:0) (cid:1) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:0) (cid:1)
(b) (symmetricproperty)if x y R then y x R
(cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:0) (cid:1) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:0) (cid:1)
(c) (transitiveproperty)if x y y z R then x z R
(cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:0) (cid:1) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:0) (cid:3)
We write x y if x y R For each x E let [x] y : x y This is called the equivalence class
(cid:0) (cid:2) (cid:0)
(cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:0) (cid:3) (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:2) (cid:3) (cid:3)
containing x Note that every x [x] by (a) so that [x] E If x y then [x] [y] because by (b)and (c),
(cid:2) (cid:0) (cid:2)
(cid:3) (cid:0) (cid:3) (cid:1)
x E
lzea(cid:0) d[txo]x(cid:1) (cid:14) zanzd(cid:0) z x y(cid:1) (cid:14)whiczh(cid:0) imyply(cid:1) x(cid:14) zy(cid:0) a[cyo]n(cid:3) tIrfaxd(cid:4)ic(cid:0)(cid:12)tioyn(cid:1).thSeone[vxe]ry(cid:23) p[ayi]ro(cid:2) fe(cid:1)qbueivcaaluesneceascsluamssiensgazre(cid:0)ei[txhe]r(cid:23) th[ey]sawmilel
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:1) (cid:1)
ordisjoint. Therefore,Rpartitionstheset E intomutuallydisjointequivalenceclasses.
Examples. (1) (Geometry) For triangles T and T define T T if and only if T is similar to T This is an
1 2 1 (cid:0) 2 1 2
(cid:1) (cid:3)
equivalencerelationonthesetofalltrianglesasthethreepropertiesabovearesatisfied. ForatriangleT [T]istheset
(cid:1)
ofalltrianglessimilartoT
(cid:3)
(2)(Arithmetic)Forintegersm andn definem n ifandonlyifm n iseven. Again,properties(a),(b),(c)can
(cid:0) (cid:0)
(cid:1)
easily be verified. So this is also an equivalence relationon There are exactly two equivalenceclasses, namely
(cid:5) (cid:3)
[0] 4 2 0 2 4 (evenintegers)and[1] 5 3 1 1 3 5 (oddintegers). Twointegers
(cid:2) (cid:0) (cid:0) (cid:2) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:2) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:2) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3)(cid:3)
inthesameequivalenceclassissaidtobeofthesameparity.
(3)Somepeoplethinkthatproperties(b)and(c)implyproperty(a)byusing(b),thenlettingz x in(c)toconclude
(cid:2)
x x R Thisisfalseasshownbythecounterexamplethat E 0 1 and R 1 1 whichsatisfiesproperties
(cid:2) (cid:2)
(cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:0) (cid:3) (cid:2) (cid:1) (cid:3) (cid:2) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:3) (cid:1)
(b)and(c),butnotproperty(a). Rfailsproperty(a)because0 E but 0 0 Ras0isnotinanyorderedpairinR
(cid:0) (cid:1) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:0)(cid:12) (cid:3)
6
Afunction(ormapormapping) f fromaset Atoaset B (denotedby f : A B)isamethodofassigningto
(cid:5)
everya Aexactlyoneb B Thisbisdenotedby f a andiscalledthevalueof f ata Thus,afunctionmustbe
(cid:0) (cid:0) (cid:3) (cid:6) (cid:7) (cid:3)
well-definedinthesensethatifa a then f a f a Theset Aiscalledthedomainof f (denotedbydom f)
(cid:2) (cid:2)
(cid:0)(cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:0)(cid:7) (cid:3)
andtheset Biscalledthecodomainof f (denotedbycodom f). Wesay f isaB-valuedfunction(eg. ifB then
(cid:2)
(cid:10) (cid:1)
wesay f isareal-valuedfunction.) WhenthecodomainBisnotemphasized,thenwemaysimplysay f isafunction
on A Theimageorrangeof f (denotedby f A orim f orran f)istheset f x :x A (Toemphasizethisisa
subse(cid:3)tof B wealsowriteitas f x B : x(cid:6) (cid:7) A ) Theset G (cid:1) x f x (cid:2) :x(cid:6) (cid:7) A (cid:0)isca(cid:3)l(cid:3)ledthegraphof f Two
(cid:2)
(cid:1) (cid:2) (cid:6) (cid:7) (cid:0) (cid:0) (cid:3) (cid:3) (cid:2) (cid:1) (cid:6) (cid:7)(cid:3)(cid:2) (cid:0) (cid:3) (cid:3)
functionsareequalifandonlyiftheyhavethesamegraphs. Inparticular,thedomainsofequalfunctionsarethesame
set.
Examples. The function f : given by f x x2 has dom f codom f Also, ran f
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
0 1 4 9 16 Thisisdiffer(cid:5)ent(cid:5) fro(cid:10)mthefunction(cid:6)g(cid:7): givenbyg x (cid:5) (cid:1) x2 becausedom(cid:10) (cid:3)g dom f
(cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:3) (cid:10) (cid:5) (cid:10) (cid:6) (cid:7) (cid:2) (cid:2) (cid:10) (cid:2)(cid:12) (cid:3)
Also,afunctionmayhavemorethanonepartsinitsdefinition,eg. theabsolutevaluefunctionh : definedby
x ifx 0 (cid:10) (cid:5) (cid:10)
h(cid:6) x(cid:7) (cid:2)(cid:5)(cid:4) (cid:0) x ifx (cid:11) 0 (cid:3) Becarefulindefiningfunctions. Thefollowingisbad: letxn (cid:2) (cid:6) (cid:0) 1(cid:7) n andi(cid:6) xn(cid:7) (cid:2) n(cid:3) The
ruleisnotwell-defin(cid:9)edbecausex 1 x buti x 1 3 i x
1 (cid:2) (cid:0) (cid:2) 3(cid:1) (cid:6) 1(cid:7) (cid:2) (cid:2)(cid:12) (cid:2) (cid:6) 3(cid:7) (cid:3)
Definitions. (i)Theidentityfunctiononaset Sis I : S Sgivenby I x x forallx S
S S (cid:2)
(cid:5) (cid:6) (cid:7) (cid:0) (cid:3)
(ii) Let f : A B g : B C be functions and f A B The composition of g by f is the function
(cid:5) (cid:1) (cid:0) (cid:5) (cid:6) (cid:7) (cid:16) (cid:0)(cid:3)
g f : A C definedby g f x g f x forallx A
(cid:2)
(cid:6) (cid:5) (cid:6) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:6) (cid:7) (cid:7) (cid:0) (cid:3)
(iii) Let f : A BbeafunctionandC A Thefunction f :C Bdefinedby f x f x foreveryx C
C C (cid:2)
(cid:5) (cid:16) (cid:3) (cid:16) (cid:5) (cid:16) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:0)
iscalledtherestrictionof f toC
(cid:3)
(iv) Afunction f : A B issurjective(oronto)iff f A B
(cid:2)
(cid:5) (cid:6) (cid:7) (cid:3)
(v) Afunction f : A B isinjective(orone-to-one)iff f x f y impliesx y
(cid:2) (cid:2)
(cid:5) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:3)
(vi) Afunction f : A B isabijection(oraone-to-onecorrespondence)iffitisinjectiveandsurjective.
(cid:5)
(vii) For an injectivefunction f : A B the inverse function of f is the function f 1 : f A A definedby
f 1 y x (cid:1) f x y (cid:5) (cid:1) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:5)
(cid:2) (cid:2)
(cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:14) (cid:6) (cid:7) (cid:3)
Remarks. Afunction f : A Bissurjectivemeans f A B whichisthesameassayingeveryb Bisan f a
(cid:2)
(cid:5) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:0) (cid:6) (cid:7)
foratleastonea A Inthissense,thevaluesof f donotomitanythingin B Wewilllooselysay f doesnotomit
(cid:0) (cid:3) (cid:3)
anyelementof B forconvenience. However, theremaypossiblybemorethanonea Athatareassignedthesame
(cid:0)
b B Hence,therangeof f mayrepeatsomeelementsof B If Aand Barefinitesets,then f surjectiveimpliesthe
(cid:0) (cid:3) (cid:3)
numberofelementsin Aisgreaterthanorequaltothenumberofelementsin B
(cid:3)
Next, afunction f : A B isinjectivemeans,inthecontrapositivesense, that x y implies f x f y
(cid:5) (cid:2)(cid:12) (cid:6) (cid:7) (cid:2)(cid:12) (cid:6) (cid:7) (cid:1)
which wemay looselysay f doesnot repeat any elementof B However, f may omitelements of B asthere may
(cid:3)
possibly be elements in B thatare not in the range of f So if A and B are finitesets, then f injectiveimpliesthe
(cid:3)
numberofelementsin Aislessthanorequaltothenumberofelementsin B
(cid:3)
Therefore,abijectionfrom Ato B isafunctionwhosevaluesdonotomitnorrepeatanyelementof B If Aand
(cid:3)
B arefinitesets,then f bijectiveimpliesthenumberofelementsin Aand B arethesame.
Remarks(Exercises). (a)Let f : A B beafunction. Wehave f isabijectionifandonlyifthereisafunction
(cid:5)
g : B Asuchthatg f I and f g I (Infact,for f bijective,wehaveg f 1isbijective.)
(cid:2) A (cid:2) B (cid:2)
(cid:5) (cid:6) (cid:6) (cid:3) (cid:7)
(b)If f : A Bandh : B C arebijections,thenh f : A C isabijection.
(cid:5) (cid:5) (cid:6) (cid:5)
(c)Let A B besubsetsof and f : A Bbeafunction. Ifforeveryb B thehorizontalliney bintersectsthe
(cid:2)
(cid:1) (cid:10) (cid:5) (cid:0) (cid:1)
graphof f exactlyonce,then f isabijection.
Todealwith thenumberof elementsinaset, weintroducethefollowingconcept. Forsets S and S wewill
1 2
(cid:1)
define S S and say they have the same cardinality (or the same cardinal number) if and only if there exists a
1 (cid:0) 2
bijectionfromS toS Thisiseasilycheckedtobeanequivalencerelationonthecollectionofallsets. ForasetS the
1 2
(cid:3) (cid:1)
equivalenceclass[S]isoftencalledthecardinalnumberof SandisdenotedbycardS or S Thisisawaytoassign
(cid:16) (cid:16)(cid:3)
asymbolforthenumberofelementsinaset. Itiscommontodenote,forapositiveintegern card 1 2 n n
(cid:2)
(cid:1) (cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:1) (cid:3) (cid:1)
card (readaleph-naught)andcard c(oftencalledthecardinalityofthecontinuum).
(cid:2)(cid:9)(cid:8) 0 (cid:2)
(cid:4) (cid:10)
7
Chapter3. Countability
Oftenwecomparetwosetstoseeiftheyaredifferent. Incasebothareinfinitesets,thentheconceptofcountable
setsmayhelptodistinguishtheseinfinitesets.
Definitions. Aset S iscountablyinfiniteiffthereexistsabijection f : S (i.e. and S havethesamecardinal
(cid:4) (cid:5) (cid:4)
number )Asetiscountableiffitisafiniteorcountablyinfiniteset. Asetisuncountableiffitisnotcountable.
(cid:8) 0
(cid:3)
Remarks. Suppose f: S isabijection. Then f isinjectivemeans f 1 f 2 f 3 arealldistinctand f
(cid:4) (cid:5) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
issurjectivemeans f 1 f 2 f 3 S Son f n S isaone-to-onecorrespondencebetween
(cid:2)
(cid:2) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3)(cid:31)(cid:3) (cid:3) (cid:0) (cid:4)(cid:1)(cid:0) (cid:6) (cid:7)(cid:9)(cid:0) (cid:4)
and S Therefore,theelementsof S canbelistedinan“orderly”way(as f 1 f 2 f 3 )withoutrepetitionor
(cid:3) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
omission. Conversely,iftheelementsof S canbelistedass s withoutrepetitionoromission,then f : S
1 2
(cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:5)
definedby f n s willbeabijectionasnorepetitionimpliesinjectivityandnoomissionimpliessurjectivity.
(cid:2) n
(cid:6) (cid:7)
BijectionTheorem. Letg:S T beabijection. SiscountableifandonlyifT iscountable.
(cid:5)
(Reasons. Thetheoremistruebecause S countableimpliesthereisabijectivefunction f : S whichimplies
h g f : T isbijective,i.e.T iscountable. Fortheconverse,hisbijectiveimplies f (cid:4) (cid:5)g 1 (cid:1) hisbijective.)
(cid:2) (cid:2)
(cid:6) (cid:4) (cid:5) (cid:7) (cid:6)
Remarks. Similarly,takingcontrapositive,SisuncountableifandonlyifT isuncountable.
BasicExamples. (1) iscountablyinfinite(becausetheidentityfunction I n nisabijection).
(cid:2)
(cid:4) (cid:6) (cid:7)
(cid:4)
(2) iscountablyinfinitebecausethefollowingfunctionisabijection(one-to-onecorrespondence):
(cid:5)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(cid:2)
(cid:4) (cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
f (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
(cid:3) (cid:3) (cid:3)
0 1 1 2 2 3 3 4 4
(cid:2) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:5) (cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
(cid:3) n ifniseven
Thefunction f : isgivenby f n 2 anditsinversefunctiong: isgiven
(cid:4) (cid:5) (cid:5) (cid:6) (cid:7) (cid:2) (cid:0) (cid:6) n(cid:7)21(cid:7) ifnisodd (cid:5) (cid:5) (cid:4)
(cid:3) 2m ifm 0
byg(cid:6)m(cid:7) (cid:2) 1(cid:0) 2m ifm (cid:8) 0(cid:3) Justcheckg (cid:6) f (cid:2) I(cid:4) and f (cid:6) g (cid:2) I(cid:5) (cid:3)
(cid:10)
(3) m n :m n iscountablyinfinite. 1 1 1 2 1 3 1 4
(cid:2)
(cid:4) (cid:24) (cid:4) (cid:2) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:1) (cid:0)(cid:12)(cid:4)(cid:9)(cid:3) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:6) (cid:1) (cid:7)
(DiagonalCountingScheme)Usingthediagramontheright,de-
fifn4e f:(cid:4) 3(cid:5) 1(cid:4), f(cid:24) 5(cid:4) by f2(cid:6)12(cid:7) ,(cid:2) f(cid:6)16(cid:1) 1(cid:7) , f1(cid:6)23(cid:7) (cid:2), (cid:6)2,(cid:1) t1h(cid:7)e,nff(cid:6)3i(cid:7)s(cid:2)inj(cid:6)e1c(cid:1)ti2v(cid:7)e, (cid:6)2(cid:1) 1(cid:7) (cid:6)2(cid:1) 2(cid:7) (cid:6)2(cid:1) 3(cid:7) (cid:3)(cid:3)(cid:3)
be(cid:6)ca(cid:7)us(cid:2) en(cid:6) o(cid:1)or(cid:7)dere(cid:6)d(cid:7)pa(cid:2)iri(cid:6)sr(cid:1)ep(cid:7)eate(cid:6)d.(cid:7) A(cid:2) lso(cid:6) ,(cid:1)f i(cid:7)ss(cid:3) u(cid:3) r(cid:3)jectivebecause (cid:3)(cid:3)(cid:3)
3 1 3 2 (cid:3) (cid:3)
(cid:3) (cid:3)
(cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:3) (cid:3)
m n (cid:2) f m(cid:5)(cid:13) n(cid:7) 2k (cid:1) n (cid:2) f (cid:6)m (cid:1) n (cid:0) 2(cid:7) (cid:6)m (cid:1) n (cid:0) 1(cid:7) (cid:1) n (cid:3)(cid:3)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)
(cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:4) (cid:6) (cid:7) 2 (cid:8) (cid:3)
k(cid:2) 0 (cid:6)4(cid:1) 1(cid:7) (cid:3)(cid:3)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)
(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
(4) Theopeninterval 0 1 x: x and 0 x 1 isuncountable. Also, isuncountable.
(cid:2)
(cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:2) (cid:0)(cid:12)(cid:10) (cid:9) (cid:9) (cid:3) (cid:10)
f 1 0a a a a Suppose 0 1 is countably infinite and f: 0 1 is a bijection as
(cid:2) 11 12 13 14
(cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:4) (cid:5) (cid:6) (cid:1) (cid:7)
f 2 0a a a a shown on the left. Consider the number x whose decimal representation is
(cid:2) 21 22 23 24
(cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
ff(cid:6)34(cid:7) (cid:2)(cid:2) 00(cid:3)aa3411aa3422aa3433aa3444(cid:3) (cid:3) (cid:3) 0(cid:3)b1b2b3b4(cid:3) (cid:3) (cid:3),wherebn (cid:2) (cid:3) 21 iiffaannnn (cid:2)(cid:2)(cid:12) 11. Then0 (cid:9) x (cid:9) 1andx (cid:2)(cid:12) f(cid:6)n(cid:7)
(cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
forallnbecauseb a . So f cannotbesurjective,acontradiction. Next
(cid:3)(cid:3)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3) isuncountablebecnau(cid:2)(cid:12)setnann(cid:9) (cid:6) x (cid:0) 12(cid:7) providesabijectionfrom (cid:6)0(cid:1) 1(cid:7) onto(cid:10) (cid:10)(cid:3)
Todeterminethecountabilityofmorecomplicatedsets,wewillneedthetheoremsbelow.
8
Countable Subset Theorem. Let A B If B is countable, then A is countable. (Taking contrapositive, if A is
(cid:16) (cid:3)
uncountable,thenB isuncountable.)
(cid:1)
CountableUnionTheorem. IfA iscountableforeveryn then A iscountable. Ingeneral,ifSiscountable
n n
(cid:0)(cid:12)(cid:4) (cid:1)
n
(cid:4) (cid:4) (cid:1) (cid:1)
(say f : S isabijection)and A iscountableforeverys S then A A iscountable. (Briefly,
s s (cid:2) f n
(cid:4) (cid:5) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
countableunionofcountablesetsiscountable.) s(cid:4) S n(cid:4) (cid:4)
ProductTheorem. IfA,Barecountable,thenA B a b : a A b B iscountable. Infact,ifA A A
(cid:2) 1 2 n
arecountable,then A A A iscount(cid:24)able(b(cid:2)y(cid:6) m(cid:1)ath(cid:7) ema(cid:0)tica(cid:1)lind(cid:0) uct(cid:3)ion). (cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:1)
1 2 n
(cid:24) (cid:24)(cid:25)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:26)(cid:24)
(SketchofReasons. Forthecountablesubsettheorem,if B iscountable,thenwecanlisttheelementsof B andto
counttheelementsof A, wecanskipoverthoseelementsof B thatarenotin A Forthecountableuniontheorem,if
(cid:3)
welisttheelementsof A inthefirstrow,theelementsofA inthesecondrow, thenwecancountalltheelements
1 2
(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:1)
byusingthediagonalcountingscheme. As fortheproducttheorem,wecanimitatetheexampleof andalso
usethediagonalcountingscheme.) (cid:4) (cid:24) (cid:4)
m (cid:2) m
Examples. (5) S whereS :m Foreveryn thefunction f : S givenby f m
(cid:7) (cid:2) n(cid:3)(cid:19) 1 n(cid:1) n (cid:2)(cid:5)(cid:4) n (cid:0)(cid:8)(cid:5) (cid:3) (cid:0)(cid:12)(cid:4) (cid:1) n (cid:5) (cid:5) n n(cid:6) (cid:7) (cid:2) n
(cid:2)
isabijection(with f 1 m m),soS iscountablebythebijectiontheorem. Therefore, iscountablebythe
n(cid:7) (cid:3) n (cid:2) n (cid:7)
countableuniontheorem. ((cid:9)Thensubsetsof like 0 0 0 1 arealsocountable.)
(cid:7) (cid:5) (cid:27) (cid:2) (cid:3) (cid:1) (cid:4) (cid:19) (cid:2) (cid:3) (cid:1)(cid:22)(cid:7) (cid:23) (cid:6) (cid:1) (cid:7)
(6) is uncountable. (In fact, if A is uncountable and B is countable, then A B is uncountable as A B
(cid:10)cou(cid:27) n(cid:7)tableimplies A B A B Acountablebythecountableuniontheore(cid:27)m,whichisacontradictio(cid:27)n).
(cid:2)
(cid:6) (cid:23) (cid:7) (cid:19) (cid:6) (cid:27) (cid:7)
(7) (cid:2) x (cid:1) iy :x y contains and isuncountable,sobythecountablesubsettheorem, isuncountable.
(cid:11) (cid:2) (cid:1) (cid:0)(cid:9)(cid:10)(cid:9)(cid:3) (cid:10) (cid:10) (cid:11)
(8) Showthattheset A r m :m r 0 1 isuncountable,butthesetB r m :m r 0 1
(cid:2) (cid:2)
iscountable. (cid:2) (cid:4) (cid:0)(cid:12)(cid:4) (cid:1) (cid:0) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:3) (cid:2) (cid:4) (cid:0)(cid:12)(cid:4) (cid:1) (cid:0)(cid:12)(cid:7) (cid:23) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:3)
Solution. Takingm 1 weseethat 0 1 A Since 0 1 isuncountable, A isuncountable. Next wewill
(cid:2)
(cid:1) (cid:1) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:16) (cid:3) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:1)
observe that B B where B r m : r 0 1 r m for each m Since
(cid:2) m m (cid:2) (cid:2)
(cid:1) (cid:2) (cid:4) (cid:0) (cid:7) (cid:23) (cid:6) (cid:1) (cid:7) (cid:3) (cid:2) (cid:4) (cid:3) (cid:0)(cid:25)(cid:4) (cid:3)
m r 01
(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:7)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:0) (cid:8) (cid:1)
0 1 iscountableand r m has1elementforeveryr 0 1 B iscountablebythecountableunion
m
t(cid:7)he(cid:23)or(cid:6)em(cid:1) .(cid:7) Finally, since i(cid:2)s(cid:4)coun(cid:3) tableand B is countable(cid:0)(cid:8)fo(cid:7) r(cid:23)ev(cid:6)er(cid:1)y m(cid:7) (cid:1) B is countableby the countable
m
(cid:4) (cid:0) (cid:4) (cid:1)
uniontheorem.
(9) ShowthatthesetL ofalllineswithequationy (cid:2) mx (cid:1) b wherem b iscountable.
(cid:1) (cid:1) (cid:0)(cid:8)(cid:7) (cid:1)
Solution. Notethatforeachpairm bofrationalnumbers,thereisauniqueliney (cid:2) mx (cid:1) binthesetL Sothe
function f : L definedb(cid:1)yletting f m b betheline y (cid:2) mx (cid:1) b(with f 1sendingtheline(cid:3)backto
m b )isabi(cid:7)jec(cid:24) tio(cid:7) n.(cid:5) Since iscountable(cid:6) by(cid:1) th(cid:7) eproducttheorem,sothesetL is(cid:7) countablebythebijection
t(cid:6)he(cid:1)ore(cid:7) m. (cid:7) (cid:24) (cid:7)
(10) Showthatif A 0 1 foreveryn then A A A isuncountable. (Inparticular,thisshowsthat
n (cid:2) 1 2 3
theproducttheorem(cid:2) i(cid:1)sn(cid:3)ottrueforinfi(cid:0)(cid:12)n(cid:4)te(cid:1)lymanyc(cid:24)ounta(cid:24)blese(cid:24)(cid:21)ts.(cid:20)(cid:22))(cid:20)(cid:22)(cid:20)
Solution. Assume A A A a a a : eacha 0or1 is countable and f :
1 2 3 (cid:2) 1 2 3 i (cid:2)
A A A isa(cid:24)biject(cid:24)ion. Fo(cid:24) llo(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)w(cid:20)inge(cid:2)x(cid:6) am(cid:1) ple(cid:1) (4)(cid:1),(cid:3)w(cid:3) (cid:3)e(cid:7) canchangethen-th(cid:3)coordinateof f n (from(cid:4) 0(cid:5)to
1 2 3
1or(cid:24) from(cid:24)1to0(cid:24))t(cid:20)(cid:22)o(cid:20)(cid:22)(cid:20)produceanelementof A A A notequaltoany f n whichisa(cid:6)co(cid:7)ntradiction.
1 2 3
Soitmustbeuncountable. (cid:24) (cid:24) (cid:24)(cid:25)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20) (cid:6) (cid:7) (cid:1)
(11) Showthatthepowerset P ofallsubsetsof isuncountable.
(cid:6)(cid:31)(cid:4) (cid:7) (cid:4)
Solution. As in example (10), let A 0 1 forevery n Define g : P A A A by
n (cid:2) 1 2 3
(cid:3) 1 (cid:2) if(cid:1) m(cid:3) S (cid:0)(cid:21)(cid:4) (cid:3) (cid:6)(cid:31)(cid:4) (cid:7) (cid:5) (cid:24) (cid:24) (cid:24) (cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20)
g(cid:6) S(cid:7) (cid:2) (cid:6)a1(cid:1) a2(cid:1) a3(cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3)(cid:7) (cid:1) wheream (cid:2) 0 ifm (cid:0)(cid:12) S (cid:3) (Forexample, g(cid:6)(cid:6)(cid:2)1(cid:1) 3(cid:1) 5(cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:7) (cid:2) (cid:6)1(cid:1) 0(cid:1) 1(cid:1) 0(cid:1) 1(cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:3)(cid:7) (cid:3))Note
(cid:0)
ghastheinversefunctiong 1(cid:1) a a a m :a 1 Hencegisabijection. SinceA A A
1 2 3 (cid:2) m (cid:2) 1 2 3
isuncountable,so P isu(cid:7) nc(cid:6)oun(cid:1)tab(cid:1)leb(cid:1)y(cid:3) t(cid:3)h(cid:3)(cid:7)(cid:3)e(cid:2) bije(cid:2)ctiontheorem(cid:3) (cid:3) . (cid:24) (cid:24) (cid:24)(cid:8)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20)
(cid:6)(cid:31)(cid:4) (cid:7)
9
(12) ShowthatthesetSofallpolynomialswithintegercoefficientsiscountable.
Solution. LetS Forn thesetofS ofallpolynomialsofdegreenwithintegercoefficientsiscountable
0 (cid:2) n
becausethefunction(cid:5) f(cid:3) : Sn (cid:0)(cid:12)(cid:4) (cid:1) 0 definedby f anxn(cid:1) an 1xn 1(cid:1) (cid:1) a0 (cid:2) an an 1 a0
isabijectionand 0 (cid:5) (cid:6) (cid:5) (cid:27) (cid:2) (cid:3) (cid:7) (cid:24) (cid:5) is(cid:24) c(cid:20)(cid:22)o(cid:20)(cid:22)u(cid:20) (cid:24)nt(cid:5)ablebythepro(cid:6)ducttheor(cid:7)em.(cid:7)So,(cid:20)(cid:22)S(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:2) S0(cid:7) (cid:1) (cid:6) S(cid:1) nis(cid:7) c(cid:1)o(cid:3)u(cid:3)n(cid:3)t(cid:1)able(cid:7)
(cid:6) (cid:5) (cid:27) (cid:2) (cid:3) (cid:7) (cid:24) (cid:5) (cid:24)(cid:21)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:20)(cid:30)(cid:24) (cid:5) (cid:19)
n
bythecountableuniontheorem. (cid:4) (cid:4)
(13) Showthatthereexistsarealnumber,whichisnotarootofanynonconstantpolynomialwithintegercoefficients.
Solution. For each polynomial f with integer coefficients, let R denotesthe set of roots of f Then R has
f f
(cid:3)
at most deg f elements, hence R is countable. Let S be the set of all nonconstantpolynomials with integer
f
(cid:1) (cid:0) (cid:1)
coefficients,whichisthesubset S ofSinthelastexample. Then R isthesetofallrootsofnonconstant
n f
polynomialswithintegercoefficni(cid:4)e(cid:4)nts. Itiscountablebythecountablfe(cid:4) Su(cid:1)niontheorem. Since isuncountable,
(cid:1) (cid:10)
R isuncountablebythefactinexample(6). Sothereexistuncountablymanyrealnumbers,whichare
f
(cid:10) (cid:27)
f S(cid:1)
(cid:4)
notrootsofanynonconstantpolynomialwithintegercoefficients.
Remarks. Anynumberwhichis arootofanonconstantpolynomialwith integercoefficientsiscalledan algebraic
number. Anumberwhichisnotarootofanynonconstantpolynomialwithintegercoefficientsiscalledatranscendental
number. Arethereany algebraicnumbers? Arethere anytranscendentalnumbers? Ifso, aretherefinitelymany or
countablymanysuchnumbers?
Sinceevery rationalnumber a istheroot ofthepolynomialbx a every rationalnumberisalgebraic. There
b (cid:0) (cid:1)
are irrational numbers like (cid:2) 2 which are algebraic because they are the roots of x2 (cid:0) 2 Using the identity
cos3 4cos3 3cos the(cid:4) irr(cid:1)ationalnumbercos20 iseasilyseentobealgebraicasitisaro(cid:3) otof8x3 6x 1
(cid:2) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:1) (cid:4) (cid:3)
Example(12)andthefactthateverynonconstantpolynomialhasfinitelymanyrootsshowedthereareonlycountably
many algebraicnumbers. Example(13)showedthatthere areuncountablymany transcendentalrealnumbers. Itis
quitedifficulttoproveaparticularnumberistranscendental. Inanumbertheorycourse,itwillbeshownthat ande
(cid:9)
aretranscendental.
Thefollowingareadditionalusefulfactsconcerningcountability.
Theorem.
(1) (InjectionTheorem)Let f : A B beinjective. If B iscountable,then Aiscountable. (Takingcontrapositive,
(cid:5)
if Aisuncountable,then Bisuncountable.)
(2) (SurjectionTheorem)Letg: A Bbesurjective. IfAiscountable,thenBiscountable. (Takingcontrapositive,
(cid:5)
if B isuncountable,then Aisuncountable.)
(Reasons. For the first statement, observe that the function h : A f A defined by h x f x is injective
(cid:2)
(cid:5) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
(because f isinjective)andsurjective(becauseh A f A ). Soh isabijection. If B iscountable,then f A is
(cid:2)
(cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7) (cid:6) (cid:7)
countablebythecountablesubsettheorem,whichimplies Aiscountablebythebijectiontheorem.
(cid:1)
Forthesecondstatement,observethat B g A g x If Aiscountable,thenitisacountableunionof
(cid:2) (cid:2)
(cid:6) (cid:7) (cid:2) (cid:6) (cid:7) (cid:3) (cid:3)
x A
countablesets. Bythecountableuniontheorem, Biscount(cid:4)able.)
AFamousOpenProbleminMathematics
For twosets A and B it is commontodefinecard A card B ifand onlyifthere exists an injectivefunction
(cid:1) (cid:10)
f : A B Thisisawaytoindicate Bhasatleastasmanyelementsas A
(cid:5) (cid:3) (cid:3)
ContinuumHypothesis. IfSisuncountable,thencard cardS (Thismeanseveryuncountablesethasatleastas
(cid:10) (cid:10) (cid:3)
manyelementsastherealnumbers.)
In1940,KurtGo¨delshowedthattheoppositestatementwouldnotleadtoanycontradiction. In1966,PaulCohen
wontheFields’Medalforshowingthestatementalsowouldnotleadtoanycontradiction. Soproofbycontradiction
maynotbeappliedtoeverystatement.
10