10 BAB II KAJIAN TEORI Dalam bab ini akan dibahas mengenai matriks, koefisien korelasi dan

40 Pages·2016·0.64 MB·Indonesian

BAB II
KAJIAN TEORI

Dalam bab ini akan dibahas mengenai matriks, koefisien korelasi dan matriks
korelasi, regresi linear berganda, metode kuadrat terkecil biasa, multikolinearitas,
principal component regression dan faktor-faktor yang mempengaruhi IHSG.
A. Matriks
1. Pengertian Matriks
Matriks adalah suatu susunan bilangan atau fungsi yang terbentuk dalam
baris dan kolom dan diapit oleh dua kurung siku. Bilangan atau fungsi tersebut
dinamakan entri atau elemen dalam matriks (‘Imrona, 2013: 1). Ukuran suatu
matriks atau ordo dijelaskan dengan menyatakan banyak baris ( ) dan banyak
kolom ( ). Misalkan suatu matriks berukuran , maka matriks tersebut
secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:

dimana menyatakan elemen baris , kolom dari .

Dua matriks dikatakan sama jika ukurannya sama dan elemen yang
bersesuaian bernilai sama, sehingga jika matriks dan sama maka dapat ditulis
yang mengakibatkan .

10
2. Jenis-jenis Matriks
Terdapat beberapa jenis matriks di antaranya:
a. Matriks Bujur Sangkar
Matriks bujur sangkar adalah suatu matriks yang ukuran baris dan kolomnya
sama (Sembiring, 1995: 19). Bentuk umum matriks persegi berukuran dapat
dituliskan sebagai berikut:

dimana elemen-elemen berada pada diagonal utama.

b. Matriks Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di
bawah diagonal utamanya bernilai nol (‘Imrona, 2013: 2). Contohnya yaitu:

c. Matriks Segitiga Bawah
Matriks Segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di
atas diagonal utamanya bernilai nol (‘Imrona, 2013: 2). Contohnya yaitu:

d. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen selain
pada diagonal utamanya bernilai nol (Sembiring, 1995: 19). Contohnya yaitu:
11
e. Matriks Identitas
Matriks identitas (matriks satuan) adalah matriks diagonal yang semua
elemen pada diagonal utamanya bernilai satu (Sembiring, 1995: 19). Matriks ini
dilambangkan dengan dimana merupakan ordo dari matriks tersebut. Contoh

matriks identitas berukuran yaitu:

f. Matriks Nol
Matriks nol yaitu matriks yang semua elemennya bernilai nol (‘Imrona,
2013: 3). Matriks ini dilambangkan dengan , dapat juga dituliskan ordonya.
Contohnya yaitu:

g. Matriks Simetri (Setangkup)
Matriks bujur sangkar disebut matriks simetri jika untuk setiap

dan (‘Imrona, 2013: 3). Contohnya yaitu:

12
3. Operasi Matriks
Beberapa operasi matriks yang umum digunakan antara lain, yaitu:
a. Penjumlahan Matriks
Jika matriks dan dengan ,

maka penjumlahan matriks dan dinyatakan oleh . Elemen-elemen
diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks
dan tersebut (‘Imrona, 2013: 4). Sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:

a. Perkalian Dua Matriks
Jika dan dengan , , dan

maka perkalian matriks dan dinyatakan oleh dengan
syarat banyaknya kolom dari sama dengan banyaknya baris dari sehingga
berukuran . Elemen-elemen diperoleh dengan menjumlahkan semua
perkalian antara elemen pada baris ke- dengan elemen pada kolom ke-
(‘Imrona, 2013: 5). Sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:

b. Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika dengan dan maka perkalian

matriks dengan skalar dinyatakan oleh . Elemen-elemen diperoleh
dengan mengalikan setiap elemen pada matriks dengan skalar (‘Imrona, 2013:
6). Sehingga dituliskan sebagai berikut:

13
4. Matriks Transpos
Tranpos suatu matiks , dilambangkan dengan atau adalah matriks
yang diperoleh dari dengan menukar baris dengan kolomnya (Gazali, 2005: 18).
Sebagai contoh:

maka

5. Matriks Invers
Matriks bujur sangkar dan dikatakan saling invers jika memenuhi
(Sembiring, 1995: 24). Invers matriks dilambangkan dengan
. Matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular
(determinannya bernilai ). Suatu matriks bujur sangkar disebut ortogonal jika
sehingga .
6. Determinan
Determinan merupakan fungsi dari suatu matriks bujur sangkar ke bilangan
real suatu matriks dilambangkan dengan atau (‘Imrona, 2013: 49).
Bila merupakan matriks , determinan matriks didefinisikan sebagai
berikut:

Sedangkan untuk matriks , determinan didefinisikan sebagai berikut:

14
Cara penulisan Persamaan tersebut dapat diubah menjadi:

atau

atau

15
atau

atau

atau

16
Dari kenyataan di atas, mendorong didefinisikannya determinan secara
formal yang bersifat rekursif dengan mengingat bahwa determinan suatu matriks
dapat diperoleh dengan menggunakan determinan matriks yang lebih kecil
ukurannya (submatriks).
Definisi 1
Misalkan , maka minor dari , yang dilambangkan oleh ,

adalah determinan dari submatriks yang diperoleh dengan cara membuang
semua elemen pada baris ke- dan semua elemen pada kolom ke- . Sedangkan
kofaktor dari , yang dilambangkan oleh , adalah .

Definisi 2
Misalkan , determinan dari didefinisikan sebagai berikut:

(jika baris ke- menjadi acuan yang

disebut ekspansi kofaktor sepanjang baris ke- ) atau
(jika kolom ke- menjadi acuan yang

disebut ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke- ).
7. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Jika suatu matriks bujur sangkar berukuran , maka ada nilai eigen
atau nilai karakteristik ( ) dan vektor eigen atau vektor karakteristik ( ) yang
bersesuaian dengan sehingga dipenuhi (Sembiring, 1995: 26):
17
dimana .
Dari Persamaan tersebut, dapat dituliskan sebagai:

dengan adalah matriks identitas yang berukuran sama dengan matriks , dalam
matriks dapat dituliskan:

, ,

Karena , maka haruslah:

Persamaan dinamakan persamaan karakteristik dari matriks . Akar-
akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan inilah yang disebut nilai-nilai
eigen dari matriks . Nilai eigen disebut juga akar laten (latent root). Sedangkan
ektor eigen (vektor laten) yang bersesuaian dengan suatu nilai eigen dapat dicari
dengan mensubstitusikan nilai eigen tersebut ke dalam Persamaan .

B. Koefisien Korelasi Dan Matriks Korelasi
Dalam statistika terdapat beberapa pengukuran diantaranya ukuran
pemusatan data dan ukuran penyebaran data. Kedua pengukuran tersebut
digunakan sebagai dasar perhitungan koefisien korelasi dan matriks korelasi.
Misalkan suatu matriks didefinisikan sebagai berikut:
18
Jika pengamatan suatu sampel berukuran , maka nilai rata-rata (mean)
sampel ke- yang merupakan ukuran pemusatan data didefinisikan sebagai
berikut:

dengan:
.
Dalam bentuk matriks, mean dapat dituliskan sebagai berikut:

Deviasi standar dan variansi suatu sampel ke- merupakan ukuran
penyebaran data. Deviasi standar merupakan akar positif dari variansi,
didefinisikan sebagai berikut:

Sehingga untuk variansi didefinisikan sebagai berikut:

dengan .

19